230 11 GEOMETRISCHE DARSTELLUNG VON VEKTOREN UND DEREN RECHENOPERATIONEN 11.43 Der Punkt T auf der Strecke AB teilt die Strecke im Verhältnis a) 2 : 3, b) 3 : 4, c) 4 : 5. Drücke T durch A und B aus! 11.44 Der Punkt C auf der Strecke AB teilt die Strecke im Verhältnis 2 :1. Berechne A! a) B = (– 2 | 3), C = (0 | 4) c) B = (2 | –1),C = (–3 | – 1) b) B = (2 | 2), C = (4 | – 7) d) B = (0 | –2),C = (1 | 1) 11.45 Der Punkt C auf der Strecke AB teilt die Strecke im Verhältnis 3 : 2. Berechne B! a) A = (8 | –3),C = (20 | 15) c) A = (6 | 2), C = (6 | 8) b) A = (11 | 11), C = (35 | – 10) d) A = (0 | 0), C = (1 | 1) Vektorielle Beweise L 11.46 Zeige: Die Diagonalen eines Parallelogramms halbieren einander. LÖSUNG Sei ABCD ein Parallelogramm. Sei M1 der Mittelpunkt der Diagonale AC und M2 der Mittelpunkt der Diagonale BD. Wir zeigen, dass die beiden Mittelpunkte zusammenfallen. Es gilt: M1 = 1 _ 2 (A + C) und M2 = 1 _ 2 (B + D) Um M1 = M2 zu zeigen, müssen wir also nachweisen, dass A + C = B + D ist. Dies ist aber der Fall. Denn in dem Parallelogramm ABCD gilt ⟶ DC = ⟶ AB, also C – D = B – A und somit A + C = B + D. 11.47 Zeige: Ist S der Schwerpunkt eines Dreiecks ABC, so gilt: ⟶ SA + ⟶ SB + ⟶ SC = →o . 11.48 P, Q, R sind die Mittelpunkte der Seiten eines Dreiecks ABC. Zeige, dass die Dreiecke ABC und PQR denselben Schwerpunkt haben! 11.49 Die Punkte P, Q, R teilen die Dreiecksseiten AB, BC, CA jeweils im Verhältnis a) 3 : 1, b) k : 1. Zeige, dass die Dreiecke ABC und PQR denselben Schwerpunkt haben! 11.50 Zeige: Die Mittelpunkte P, Q, R, S der Seiten eines Vierecks ABCD sind die Eckpunkte eines Parallelogramms. 11.51 Zeige: Ist ABCD ein Viereck und sind M1 , M2 , M3 , M4 die Mittelpunkte der Seiten AB, BC, CD, DA, dann gilt: A + B + C + D = M1 + M2 + M3 + M4. Überprüfe dies an einem selbst gewählten Viereck! 11.52 Es sei ABCD ein Viereck. S1 , S2 , S3 , S4 seien die Schwerpunkte der Teildreiecke BCD, ACD, BDA, ABC. Zeige, dass jede Seite des Vierecks S1S2S3S4 zu einer Seite des Vierecks ABCD parallel ist! Wie verhalten sich die Seitenlängen der beiden Vierecke? 11.53 Zeige: Verbindet man die Mittelpunkte gegenüberliegender Seiten in einem Viereck, so halbieren einander die beiden Verbindungsstrecken. A B C D AUFGABEN L A B C D S R Q P Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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