229 11.4 Einfache Anwendungen der Vektorrechnung in der Geometrie Schwerpunkt eines Dreiecks R 11.37 Stelle eine Formel für den Schwerpunkt S des Dreiecks ABC auf! LÖSUNG Der Schwerpunkt eines Dreiecks teilt die Schwerlinien im Verhältnis 1 : 2. Somit gilt: S = A + 2 _ 3 · ⟶AM=A+2 _ 3 (M–A)= 1 _ 3 A + 2 _ 3 M = = 1 _ 3 A + 2 _ 3 [ 1 _ 2 (B + C) ] = 1 _ 3 A + 1 _ 3 (B+C)= 1 _ 3 (A+B+C) Satz Für den Schwerpunkt S eines Dreiecks ABC gilt: S = 1 _ 3 ·(A+B+C) 11.38 Berechne den Schwerpunkt des Dreiecks ABC! a) A = (– 4 | –1), B = (5 | –1), C = (2 | 8) c) A = (– 3 | 2), B = (7 | –5),C = (5 | 9) b) A = (– 6 | –5),B = (4 | 3), C = (–1 | 5) d) A = (– 1 | –4),B = (6 | –1), C = (–7 | 4) 11.39 Von einem Dreieck ABC kennt man zwei Eckpunkte und den Schwerpunkt S. Berechne den dritten Eckpunkt! a) B = (4 | –3),C = (3 | 3), S = (2 | 1) d) B = (4 | 5),C = (–6 | 6), S = (–1 | 1) b) A = (5 | 1), C = (–7 | 5), S = (–1 | 2) e) A = (– 4 | –2),C = (0 | 6), S = (1 | 0) c) A = (1 | –1), B = (5 | 2), S = (2 | 2) f) A = (– 7 | 0), B = (2 | –5),S = (0 | 0) Teilungspunkte einer Strecke R 11.40 Gegeben sind die Punkte A = (1 | 1) und B = (6 | 3). Berechne die Koordinaten des Punktes T auf der Strecke AB, der diese im Verhältnis 2 : 3 teilt! LÖSUNG Wir teilen die Strecke AB in 5 (= 2 + 3) gleich lange Teile. T = A + 2 _ 5 · ⟶ AB = ( 1 1 ) + 2 _ 5 · ( 5 2 ) = ( 3 1, 8 ) 2. A. 1. A. 1 1 B A T 2 5 AB 11.41 Der Punkt T auf der Strecke AB teilt diese im Verhältnis 1 : 2. Drücke T durch A und B aus! 1. LÖSUNGSMÖGLICHKEIT T = A + 1 _ 3 · ⟶ AB=A+1 _ 3 ·(B–A)= 2 _ 3 ·A+ 1 _ 3 ·B= 1 _ 3 ·(2A + B) 2. LÖSUNGSMÖGLICHKEIT → AT = 1 _ 2 · ⟶ TB É T – A = 1 _ 2 · (B – T) É T = 1 _ 3 ·(2A + B) 11.42 Ermittle den Punkt T auf der Strecke AB, der die Strecke im angegebenen Verhältnis teilt! a) A = (– 6 | –5),B = (10 | 7), 3 : 1 c) A = (3 | –10), B = (12 | 17), 4 : 5 b) A = (– 4 | 6), B = (11 | 1), 1 : 4 d) A = (– 3 | 4), B = (7 | – 2), 11 : 9 A B M C S 2 3 AM AUFGABEN R AUFGABEN R Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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