228 11 GEOMETRISCHE DARSTELLUNG VON VEKTOREN UND DEREN RECHENOPERATIONEN 11.4 Einfache Anwendungen der Vektorrechnung in der Geometrie Mittelpunkt einer Strecke 11.31 1) Gegeben sind die Punkte A = (– 4 | 1) und B = (2 | 3). Ermittle zeichnerisch und rechnerisch den Mittelpunkt M der Strecke AB! 2) Stelle eine allgemeine Formel für den Mittelpunkt einer Strecke AB auf! LÖSUNG 1) ⟶ AB = B – A = ( 2 3 ) – ( – 4 1 ) = ( 6 2 ) M = A + 1 _ 2 · ⟶ AB = ( – 4 1 ) + 1 _ 2 · ( 6 2 ) = ( – 1 2 ) 2) M = A + 1 _ 2 · ⟶ AB=A+1 _ 2 ·(B–A)= 1 _ 2 ·A+ 1 _ 2 · B = 1 _ 2 ·(A+B) 2. A. 1. A. 1 2 3 4 1 –4 –3 –2 –1 2 A B M Wir halten das Ergebnis der letzten Aufgabe fest: Satz Für den Mittelpunkt M einer Strecke AB gilt: M = 1 _ 2 ·(A+B) 11.32 Von einer Strecke AB kennt man den Endpunkt A = (– 2 | 3) und den Mittelpunkt M = (1 | 2). Berechne die Koordinaten des Endpunktes B! 1. LÖSUNGSMÖGLICHKEIT M = 1 _ 2 (A + B) w B = 2M – A = 2 · ( 1 2 ) – ( – 2 3 ) = ( 4 1 ) 2. LÖSUNGSMÖGLICHKEIT B = A + 2 · ⟶AM = ( – 2 3 ) + 2 · ( 3 – 1) = ( 4 1 ) 11.33 Berechne den Mittelpunkt M der Strecke AB und überprüfe mit Hilfe einer Zeichnung! a) A = (– 3 | –4),B = (5 | 6) c) A = (– 5 | 4), B = (3 | 2) b) A = (– 1 | 1), B = (7 | 5) d) A = (– 6 | 0), B = (5 | – 3) 11.34 Von einer Strecke AB kennt man einen Endpunkt und den Mittelpunkt M. Berechne den anderen Endpunkt! a) A = (4 | – 6), M = (– 2 | – 4) c) A = (– 3 | 4), M = (1 | – 1) b) B = (4 | 5), M = (–1 | – 3) d) B = (4 | –2),M = (–1 | 2) 11.35 Von einem Parallelogramm ABCD kennt man die Eckpunkte A, B und den Diagonalenschnittpunkt M. Berechne die Eckpunkte C und D! a) A = (– 6 | –4),B = (0 | – 2), M = (– 3 | 0) c) A = (– 1 | –1), B = (6 | –3),M = (4 | 1,5) b) A = (–3,5 | 0), B = (2 | –1,5), M = (–1 | 1,5) d) A = (– 1 | –4),B = (6 | 0), M = (– 0,5 | 0,5) 11.36 Gegeben ist ein Viereck ABCD mit A = (0 | 0), B = (6 | 1), C = (4 | 5), D = (2 | 3). Die Punkte M1 , M2 , M3 , M4 sind der Reihe nach die Mittelpunkte der Seiten AB, BC, CD, DA. Zeige: Die Strecken M1M3 und M2M4 halbieren einander. R AUFGABEN R Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
RkJQdWJsaXNoZXIy ODE3MDE=