221 Berechnung eines Vektors aus Anfangs- und Endpunkt R Gegeben sind die Punkte A = (a 1 | a 2) und B = (b1 | b 2). Aus der nebenstehenden Abbildung liest man ab: ⟶ AB = ( b 1 – a 1 b 2 – a 2) Daraus folgt weiter: ⟶ AB = ( b 1 b 2) – ( a 1 a 2) = B – A Man kann zeigen, dass dies für alle möglichen Lagen der Punkte A und B gilt. Aufgrund dieser Überlegung können wir das Symbol ⟶ AB ohne Benutzung von Geometrie in folgender Weise definieren: Definition Für alle A, B * R 2 setzen wir: ⟶ AB = B – A Merke: „Vektor = Endpunkt minus Anfangspunkt“ Mit dieser Definition ergibt sich: ⟶ AB=B–A=–(A–B)=– ⟶ BA. Somit erhält man: Satz Für alle A, B * R2 gilt: ⟶ AB = – ⟶ BA 11.06 Berechne den Vektor ⟶ AB! Veranschauliche ihn durch einen Pfeil von A nach B und durch zwei weitere Pfeile! a) A = (2 | 1), B = (6 | 7) d) A = (– 6 | 4), B = (5 | 0) g) A = (2 | 4), B = (–1 | – 2) b) A = (3 | –4),B = (7 | 2) e) A = (2 | –1),B = (–4 | 5) h) A=O,B=(–5 | – 5) c) A = (– 5 | 3), B = (4 | – 3) f) A = (4 | 0),B = (–5 | 5) i) A = (1,7 | 2,1), B = O 11.07 Gegeben ist das Dreieck ABC. Berechne die „Seitenvektoren“ ⟶ AB , ⟶ BC , ⟶ CA ! a) A = (– 2 | –1), B = (5 | 1), C = (1 | 7) d) A = (0 | 7), B = (2 | –7), C = (6 | 0) b) A = (– 3 | –4),B = (6 | –1), C = (0 | 8) e) A = (– 9 | –11), B = (–2 | – 5), C = (– 4 | – 1) c) A = (– 5 | 0), B = (4 | 3), C = (5 | 9) f) A = (– 4 | 3,5), B = (– 0,5 | 1),C = (–5 | 9,5) 11.08 Gegeben ist das Fünfeck ABCDE. Berechne die „Seitenvektoren“ ⟶ AB , ⟶ BC , ⟶ CD , ⟶ DE , ⟶ EAund die „Diagonalvektoren“ ⟶ AC , ⟶AD , ⟶BD , ⟶ BE , ⟶ CE ! a) A = (– 3 | 0), B = (5 | 0), C = (7 | 4), D = (0 | 8),E = (–5 | 3) b) A = (– 5 | –2),B = (–1 | –6),C = (4 | –2),D = (4 | 2), E = (–1 | 5) c) A = (– 3 | 0), B = (0 | –5),C = (6 | –2),D = (7 | 3), E = (–1 | 6) 11.09 Wer hat in dem folgenden Zwiegespräch Recht? Begründe! Nina: „In dem nebenstehenden Parallelogramm gilt ⟶AD = ⟶ BC .“ Felix: „Unmöglich! Wie können verschiedene Pfeile einander gleich sein?“ LÖSUNG N ina hat Recht. ⟶AD und ⟶ BCsind dasselbe Zahlenpaar, nur wird dieses durch verschiedene Pfeile geometrisch dargestellt. 2. A. 1. A. a2 a1 b2 b1 A B kompakt S. 236 AB BA A B AUFGABEN R A B C D 11.1 DARSTELLUNG VON VEKTOREN IN R 2 ALS PUNKTE ODER PFEILE IN DER EBENE Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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