212 10 VEKTOREN 10.45 Die Pizzeria La Mamma verkauft Pizza Normale und Pizza Grande. Die Verkaufszahlen für Pizza Normale bzw. Pizza Grande im Mai sind im Stückzahlvektor Z 1 = (50 1 47), die entsprechenden Verkaufszahlen im Juni im Stückzahlvektor Z 2 = (100 1 28)zusammengefasst. Durch den Verkauf ergaben sich im Mai die Einnahmen E 1 = 1111 €und im Juni die Einnahmen E 2 = 1 364 €. Der Vektor P = (p1 1 p 2)gibt den Preis für eine Pizza Normale bzw. eine Pizza Grande an. 1) Schreibe den Zusammenhang zwischen E 1 , Z 1 und Pin Gleichungsform an! 2) Berechne den Vektor P! Rechengesetze für das Skalarprodukt R Das skalare Produkt von Vektoren kann als eine Verallgemeinerung des gewöhnlichen Produkts reeller Zahlen angesehen werden. Fasst man nämlich eine reelle Zahl als ein Element der Menge R1 auf, dh. als einen Vektor mit nur einer Koordinate, dann entspricht das Skalarprodukt dem gewöhnlichen Produkt reeller Zahlen: (a1) · (b1) = a1 · b1 Für das Skalarprodukt von Vektoren gelten auch ähnliche Rechengesetze wie für das Produkt reeller Zahlen. Im folgenden Satz sind drei grundlegende Gesetze angeführt, von denen wir eines exemplarisch beweisen. Satz Für alle A, B, C * R2 und alle r * R gilt: (SP 1) A · B = B · A (Kommutativgesetz) (SP 2) (A + B) · C = A · C + B · C (Distributivgesetz) (SP 3) (r · A) · B = r · (A · B) (Quasiassoziativgesetz) BEWEIS VON (SP 2) Sei A = ( a 1 a 2) , B = ( b 1 b 2) , C = ( c 1 c 2) . Im Verlauf des Beweises benützen wir das Distributivgesetz für reelle Zahlen und erhalten: (A + B) · C = (( a 1 a 2) + ( b 1 b 2)) · ( c 1 c 2) = ( a 1 + b 1 a 2 + b 2) · ( c 1 c 2) = (a1 + b1) · c1 + (a2 + b2) · c2 = a1 · c1 + b1 · c1 + a2 · c2 + b2 · c2 = (a1 · c1 + a2 · c2) + (b1 · c1 + b2 · c2) = ( a 1 a 2) · ( c 1 c 2) + ( b 1 b 2) · ( c 1 c 2) = A · C + B · C Aus den drei Grundgesetzen (SP1), (SP 2), (SP 3) kann man weitere Rechengesetze für das Skalarprodukt herleiten, ohne Koordinaten einführen zu müssen. Wir führen im folgenden Satz einige an und beweisen eines davon exemplarisch. Zur Abkürzung setzt man: A 2 = A · A für alle Vektoren A * ℝ 2. Satz Für alle A, B, C * R2 und alle r, s * R gilt: (1) A · (B + C) = A · B + A · C (4) (A + B)2 = A 2 +2·(A·B)+B2 (2) (r · A) · B = A · (r · B) = r · (A · B) (5) (A – B)2 = A 2 –2·(A·B)+B2 (3) (r · A) · (s · B) = (r · s) · (A · B) BEWEIS VON (1) A · (B + C) = (SP1) (B + C) · A = (SP2) B · A + C · A = (SP1) A · B + A · C 10.46 Beweise für alle A , B, C * ℝ 2 und alle r, s * ℝ das folgende Rechengesetz des letzten Satzes! a) Rechengesetz (2) b) Rechengesetz (3) c) Rechengesetz (4) Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
RkJQdWJsaXNoZXIy ODE3MDE=