210 10 VEKTOREN 10.3 Skalarprodukt von Vektoren Definition des Skalarprodukts 10.30 1) Eine Firma kauft a Nägel zu b € pro Stück. Stelle eine Formel für die Gesamtkosten G auf! 2) Die Firma kauft a1 Nägel zu b1 € pro Stück und a2 Schrauben zu b2 € pro Stück. Stelle eine Formel für die Gesamtkosten G auf! LÖSUNG 1) G = Stückzahl · Stückpreis = a · b 2) G = a1 · b1 + a2 · b2 In dieser Aufgabe liegt es nahe, den Stückzahlvektor (a 1 1 a 2) und den Stückpreisvektor (b 1 1 b 2) einzuführen und analog zur Formel G = Stückzahl · Stückpreis zu schreiben: G = Stückzahlvektor · Stückpreisvektor Diese Schreibweise ist aber zunächst sinnlos, weil wir ja noch kein Produkt von Vektoren definiert haben. Setzen wir jedoch das Produkt dieser beiden Vektoren gleich a1 · b1 + a2 · b2 , dann ist diese Schreibweise gerechtfertigt. Wir definieren also: Definition Sind A, B * ℝ 2, dann heißt die reelle Zahl A · B = ( a 1 a 2) · ( b 1 b 2) = a 1 · b 1 + a 2 · b 2 skalares Produkt bzw. Skalarprodukt der Vektoren A und B. BEACHTE Das skalare Produkt zweier Vektoren ist kein Vektor, sondern eine reelle Zahl (ein Skalar). Das ist auch der Grund dafür, warum man dieses Produkt als „skalares Produkt“ oder „Skalarprodukt“ bezeichnet. 10.31 Berechne A · B! a) A = (3 1 1),B = (–2 1 – 6) d) A = (– 1 1 1), B = (1 1 – 1) g) A = ( 3 _ 4 | 2 _ 5 ) B = ( 4 _ 3 | 5 _ 2 ) b) A = (4 1 4), B = (3 1 – 2) e) A = (6 1 –4),B = (10 1 11) h) A = ( 1 _ 2 | 3 _ 5 ), B = ( 1 _ 3 | 1 _ 2 ) c) A = (3 1 0), B = (0 1 4) f) A = (28 1 16), B = (13 1 – 50) i) A = (0 | 7 _ 8 ), B = ( 5 _ 9 | 0 ) 10.32 A = (– 3 1 5), B = (7 1 2), C = (1 1 –2),D = (4 1 0). Berechne: a) A · B + C · D c) A · C + B · D e) 2 · (A · B) – 3 · (C · D) g) A · B + 15 b) A · B – C · D d) A · C – B · D f) 3 · (A · C) + 2 · (B · D) h) 3 · (C · D) – 10 10.33 Für die Vektoren A = (x 1 4) und B = (3 1 – 1) gilt A · B = 17. Berechne x ! 10.34 A = (2 1 3) und A · B = 5. Gib drei Möglichkeiten für B an! 10.35 A = (3 1 –2),B = (1 1 4). Ermittle den Vektor X * R2 so, dass gilt: a) A·X=8undB·X=–2 b) A·X=29undB·X=–9 R kompakt S. 213 AUFGABEN R Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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