21 1.4 Mengen 1.4 Mengen Mengen und ihre Elemente 1.62 Schreibe alle natürlichen Zahlen, die größer als 1 und kleiner als 6 sind, in einer Menge M 1) durch Aufzählen der Elemente, 2) durch Beschreiben der Elemente an! LÖSUNG 1) M = {2, 3, 4, 5} 2) M = {x * N 1 1 < x < 6} [Lies: x aus N, für die gilt: 1 < x < 6.] Vordefinierte Mengen erhalten als Bezeichnung einen besonderen Buchstaben. BEISPIELE N = {0, 1, 2, 3, …} ist die Menge der natürlichen Zahlen. R ist die Menge der reellen Zahlen. x * M … [Lies: x ist Element der Menge M. Oder kurz: x aus M.] x + M … [Lies: x ist kein Element der Menge M. Oder kurz: x nicht aus M.] Definition (Beziehungen zwischen Mengen) (1) Zwei Mengen A, B heißen gleich (A = B), wenn sie die gleichen Elemente enthalten. (Auf die Reihenfolge, in der die Elemente angegeben werden, kommt es nicht an.) (2) Eine Menge A heißt Teilmenge der Menge B (A a B), wenn jedes Element von A auch Element von B ist. (3) Eine Menge A, die mindestens ein Element enthält, heißt echte Teilmenge der Menge B (A ² B), wenn A a B und A ≠ B. 1.63 Gegeben sind die Mengen A = {4, 3, 2}, B = {2, 3, 4} und C = {2, 3, 4, 5}. Begründe, dass 1) A = B, 2) A ² C! LÖSUNG 1) A und B enthalten die gleichen Elemente, daher gilt A = B. 2) Jedes Element von A ist auch Element von C, daher gilt A a C. Weil zusätzlich A ≠ C ist, gilt sogar A ² C. Satz Sind A und B Mengen, dann gilt A = B É A a B ? B a A. BEWEIS A = B gilt genau dann, wenn A und B die gleichen Elemente enthalten. Dies gilt genau dann, wenn jedes Element von A auch Element von B und jedes Element von B auch Element von A ist, dh. wenn A a B ? B a A gilt. Definition (Verknüpfungen von Mengen) Es seien A und B Teilmengen einer Grundmenge G. A ° B = {x * G ‡ x * A ? x * B} heißt Durchschnitt von A und B. [Lies: A geschnitten mit B] A B G A ± B = {x * G ‡ x * A = x * B} heißt Vereinigung von A und B. [Lies: A vereinigt mit B] A B G A\B = {x * G ‡ x * A ? x + B} heißt Differenz von A und B. [Lies: A ohne B] A B G BEISPIELE {1, 3, 5} ° {3, 5, 7} = {3, 5}, R– ± R 0 + = R, N\{0} = N* ist die Menge N ohne die Zahl 0. L Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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