209 10.2 Rechnen mit Vektoren 10.25 A = (7 1 –6),B = (–7 1 6). Berechne (A – 2 · B) + 3 · B! LÖSUNG Wir vereinfachen: (A – 2 · B) + 3 · B = A + B = ( 7 – 6) + ( – 7 6 ) = ( 0 0 ) Definition • Der Vektor O = (0 1 0) heißt Nullvektor in ℝ 2. • Ist A = (a 1 1 a 2), dann heißt der Vektor –A = (– a1 1 – a 2 ) der Gegenvektor von A oder der inverse Vektor zu A. Grundlegende Gesetze für Vektoren in ℝ 2 Addition von Vektoren in ℝ 2: Für alle A, B, C * ℝ 2 gilt: (1) A + B = B + A (Kommutativgesetz der Addition) (2) (A + B) + C = A + (B + C) (Assoziativgesetz der Addition) (3) A + O = A (Gesetz vom neutralen Element) (4) A+(–A)=O (Gesetz von den inversen Elementen) Multiplikation eines Vektors in ℝ 2 mit einer reellen Zahl: Für alle A, B * ℝ 2 und alle r, s * ℝ gilt: (1) r · (A + B) = r · A + r · B (Distributivgesetz 1) (2) (r + s) · A = r · A + s · A (Distributivgesetz 2) (3) (r · s) · A = r · (s · A) (Quasiassoziativgesetz) (4) 1 · A = A (Gesetz vom neutralen Element) Diese Gesetze kann man beweisen, indem man für die vorkommenden Vektoren mit Koordinaten anschreibt und dann das jeweilige Vektorgesetz auf das entsprechende Gesetz für reelle Zahlen zurückführt. Wir beweisen zum Beispiel das Gesetz (1) für die Addition von Vektoren: BEWEIS VON (1) Wir setzen A = ( a 1 a 2) und B = ( b 1 b 2) . Unter Benutzung des Kommutativgesetzes für reelle Zahlen ergibt sich: A + B = ( a 1 a 2) + ( b 1 b 2) = ( a 1 + b 1 a 2 + b 2) = ( b 1 + a 1 b 2 + a 2) = ( b 1 b 2) + ( a 1 a 2) = B + A 10.26 a) A = (5 1 4), B = (3 1 2) Berechne: A – (B – 2 · A) – 4 · A b) A = (0 1 0), B = (1 1 1) Berechne: B – 2 · [B – A – (B – A)] c) A = (0 1 –4),B = (3 1 –2),C = (3 1 2) Berechne: (A – B) – (A – C) + (B – 2 · C) 10.27 Gib zu folgendem Vektor den Gegenvektor an! a) A = (2 1 3) b) A = (– 4 1 – 3) c) A = (– 5 1 0) d) A = (a 1 – a) e) A = (0 1 r) f) A = (0 1 0) 10.28 Beweise für die Addition von Vektoren aus ℝ 2: a) Gesetz (2) b) Gesetz (3) c) Gesetz (4) 10.29 Beweise für die Multiplikation eines Vektors aus ℝ 2 mit einer reellen Zahl: a) Gesetz (1) b) Gesetz (2) c) Gesetz (3) d) Gesetz (4) AUFGABEN R Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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