208 10 VEKTOREN 10.20 Eine Autofabrik erzeugt zwei verschiedene Autotypen. Die monatliche Produktion für die beiden Autotypen beträgt p 1 Stück bzw. p2 Stück. Die Produktion muss um 15 % reduziert werden. 1) Definiere und benenne zwei passende Vektoren zu diesem Sachverhalt! 2) Beschreibe den Zusammenhang mit Hilfe der definierten Vektoren durch eine Gleichung! 10.21 Der Vektor G = (g 1 1 g 2) fasst die Gehälter von zwei Angestellten zusammen. 1) Schreibe den Vektor G‘ an, der die Gehälter nach einer Gehaltserhöhung von 50 € angibt! 2) Schreibe den Vektor G‘‘ an, der die Gehälter nach einer Gehaltserhöhung von 2 % angibt! 10.22 Der Vektor S = (s 1 1 s 2) gibt die Anzahl der Jugendlichen in den Klassen 5 A bzw. 5 B eines Gymnasiums zu Schulbeginn an. In der ersten Schulwoche gibt es Änderungen. a) In der 5 A kommen zwei Jugendliche dazu, in der 5 B ein Jugendlicher weg. Schreibe den neuen Vektor S‘ an, der angibt, wie viele Jugendliche jetzt die 5 A bzw. 5 B besuchen! b) Aus der 5 A wechseln fünf Jugendliche in die 5 B. Schreibe den neuen Vektor S‘‘ an, der angibt, wie viele Jugendliche jetzt die 5 A bzw. 5 B besuchen! 10.23 In einem Waschsalon stehen zwei gleiche Waschautomaten. Bei jedem Waschvorgang wird die Benützungsgebühr folgend ermittelt: Alle 90 Sekunden wird ein Gebührenimpuls registriert. Ein Gebührenimpuls kostet 0,10 €. Bei beiden Automaten ist eine Grundgebühr von g Euro zu bezahlen. Theo wäscht z1 Minuten auf dem ersten und z2 Minuten auf dem zweiten Automaten. Der Vektor G gibt die Grundgebühren, der Vektor Z die Waschzeiten (in Minuten) auf beiden Automaten an. Der Vektor Ifasst die auf beiden Automaten verbrauchten Gebührenimpulse, der Vektor R die Rechnungsbeträge bei beiden Automaten zusammen. 1) Schreibe die Vektoren G und Z an! 2) Drücke aus: a) I durch Z, b) R durch G und I, c) R durch G und Z! Rechengesetze für Vektoren R 10.24 Gegeben sind die Vektoren A = ( 1 3 ) und B = ( 4 1 ) . Berechne 2 · (B + A) – (A + 2 · B)! LÖSUNG 2 · (B + A) – (A + 2 · B) = 2 · [ ( 4 1 ) + ( 1 3 ) ] – [ ( 1 3 ) + 2 · ( 4 1 ) ] = 2 · ( 5 4 ) – [ ( 1 3 ) + ( 8 2 ) ] = ( 10 8 ) – ( 9 5 ) = ( 1 3 ) Durch algebraische Umformungen hätten wir diese Aufgabe einfacher lösen können: 2 · (B + A) – (A + 2 · B) = 2 · B + 2 · A – A – 2 · B = A = ( 1 3 ) Derartige Umformungen sind aber nur erlaubt, wenn für Vektoren Rechengesetze gelten, die analog zu den Rechengesetzen für reelle Zahlen sind und uns daher gestatten, mit Vektoren ähnlich wie mit reellen Zahlen zu rechnen. Dass derartige Rechengesetze gelten, kann man sich folgendermaßen überlegen. Jede Rechnung mit Vektoren aus ℝ 2 kann in zwei gewöhnliche Rechnungen mit reellen Zahlen zerlegt werden, nämlich in eine Rechnung mit den ersten Koordinaten und eine Rechnung mit den zweiten Koordinaten. Man könnte diese beiden Rechnungen getrennt voneinander aufschreiben. Einfacher ist es jedoch, wenn man beide Rechnungen zu einer Rechnung mit Vektoren aus ℝ 2 zusammenfasst. Daran erkennt man, dass sich gewisse Rechengesetze für reelle Zahlen automatisch auf Vektoren übertragen und dass man daher mit Vektoren ähnlich wie mit reellen Zahlen rechnen kann. Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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