206 10 VEKTOREN 10.2 Rechnen mit Vektoren Addieren, Subtrahieren und Vervielfachen von Vektoren 10.09 Anna und Bea machen Urlaub. Die Ausgaben jedes Mädchens erfassen wir durch einen Vektor aus R2, dessen Koordinaten jeweils die Ausgaben (in Euro) für Flug und Hotel angeben: Anna: A = ( 120 150 ) , Bea: B = ( 130 170 ) Flug Hote l a) Berechne den Vektor S, der angibt, wie viel beide zusammen für Flug bzw. Hotel ausgeben! b) Berechne den Vektor D, der angibt, um wie viel Bea für Flug bzw. Hotel mehr ausgibt als Anna! LÖSUNG a) Man berechnet den Vektor S, indem man die entsprechenden Koordinaten der Vektoren A und B addiert. S bezeichnet man als Summe der Vektoren A und B. S = A + B = ( 120 150 ) + ( 130 170 ) = ( 120 + 130 150 + 170) = ( 250 320 ) Flug Hote l b) M an berechnet den Vektor D, indem man von den Koordinaten des Vektors B die entsprechenden Koordinaten des Vektors A subtrahiert. D bezeichnet man als Differenz der Vektoren B und A. D = B – A = ( 130 170 ) – ( 120 150 ) = ( 130 – 120 170 – 150 ) = ( 10 20 ) Flug Hote l 10.10 Annas Ausgabenvektor lautet heuer A = ( 120 150 ) Flug Hotel. Nächstes Jahr sollen die Preise für Flug und Hotel um 10 % steigen. Berechne Annas Ausgabenvektor A‘ im nächsten Jahr! LÖSUNG Um den jeweils neuen Preis zu erhalten, muss man den entsprechenden alten Preis mit 1,1 multiplizieren. Man berechnet daher den neuen Ausgabenvektor A’, indem man jede Koordinate des alten Ausgabenvektors A mit 1,1 multipliziert. A’ bezeichnet man als das 1,1-Fache des Vektors A. A’ = 1,1 · A = 1,1 · ( 120 150 ) = ( 1,1 · 120 1,1 · 150 ) = ( 132 165 ) Flug Hote l Die letzten beiden Aufgaben legen folgende Definitionen nahe: Definition (Summe, Differenz und Vielfache von Vektoren in ℝ 2) Sind A = ( a1 a 2 ) , B = ( b1 b 2 ) Vektoren aus R2 und r * R, dann setzt man: A + B = ( a1 a 2 ) + ( b1 b 2 ) = ( a1 + b1 a 2 + b2 ) , A – B = ( a1 a 2 ) – ( b1 b 2 ) = ( a1 – b1 a 2 – b2 ) , r · A = ( r · a1 r · a 2 ) Merke • Vektoren werden addiert (subtrahiert), indem man die einander entsprechenden Koordinaten addiert (subtrahiert). • Ein Vektor wird mit einer reellen Zahl multipliziert, indem man jede Koordinate des Vektors mit der reellen Zahl multipliziert. Eine reelle Zahl r bezeichnet man im Gegensatz zu einem Vektor A als Skalar. Üblicherweise schreibt man den Skalar vor den Vektor, also r · A und nicht A · r. R kompakt S. 213 kompakt S. 213 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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