20 1 GRUNDLEGENDE BEGRIFFE UND FERTIGKEITEN 1.55 Gib an, ob die Aussage a) 2 < ‒7, b) 7 > ‒ 2, c) „6 ist durch 3 teilbar“, d) „10 ist durch 4 teilbar“ wahr oder falsch ist! Begründe! 1.56 Gegeben sind die Aussagen A: „n ist durch 3 teilbar.“ und B: „n ist durch 5 teilbar.“ Formuliere die Aussagen a) ¬ A, b) ¬ B, c) A ? B, d) A = B, e) ¬ (A ? B), f) ¬ (A = B)! 1.57 A ist eine Aussage über die ganze Zahl x. Kreuze die beiden richtigen Verneinungen an! a) A: x > 0 ? x ª 10 b) A:x<–5 = x > 5 x < 0 ? x > 10 x ª – 5 = x º 5 x < 0 = x > 10 x < – 5 ? x > 5 x ª 0 ? x > 10 x º – 5 = x ª 5 x ª 0 = x > 10 x º – 5 ? x ª 5 x > 10 = x ª 0 –5ªxª5 1.58 Gilt für die folgende Aussage über eine ganze Zahl x auch die Umkehrung? a) x > 0 w 1 _ x > 0 b) x > 0 w x ≠ 0 c) x < 0 w x 3 < 0 d) x º 1 w x2 º 1 1.59 Es sei x eine ganze Zahl. Kreuze die beiden wahren Aussagen an! Allaussagen und Existenzaussagen L • Eine Allaussage A ist von der Form: Für alle x gilt A. BEISPIEL „Für alle natürlichen Zahlen x gilt: x 2 º 0.“ Eine Allaussage kann man widerlegen, indem man ein Gegenbeispiel angibt. BEISPIEL Alle Primzahlen sind ungerade.“ Ein Gegenbeispiel ist die gerade Primzahl 2. Eine k orrekte Verneinung einer Allaussage lautet: Es gibt mindestens ein x, für das A nicht gilt. • Eine Existenzaussage A ist von der Form: Es gibt mindestens ein x, für das A gilt. BEISPIEL „Es gibt mindestens eine ganze Zahl x, für die x 2 = 4 gilt.“ Eine Existenzaussage kann man beweisen, indem man ein Beispiel angibt. BEISPIEL „Es gibt eine natürliche Zahl n, für die n 2 = 9 gilt.“ Ein Beispiel ist die Zahl 3. Eine korrekte Verneinung einer Existenzaussage lautet: Für alle x gilt nicht A. 1.60 Begründe oder widerlege! a) Für alle ganzen Zahlen x gilt: x2 – x > 1 b) Es gibt mindestens eine ganze Zahl x, für die gilt: x3 < 0 1.61 Bilde die korrekte Verneinung! a) Für alle ganzen Zahlen x gilt: x3 º 0 b) Es gibt mindestens eine ganze Zahl x, für die gilt: x2 > 0 AUFGABEN L x ≠ 0 É x < 0 = x > 0 x2 > 0 w x > 0 x < 0 É x2 > 0 x ª 0 = x ≠ 0 w x < 0 x · y = 0 É x = 0 = y = 0 L AUFGABEN L Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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