196 9 Lineare GLEICHUNGEN und GLEICHUNGSSYSTEME in ZWEI VARIABLEN 9.25 Löse das folgende lineare Gleichungssystem grafisch und rechnerisch! { x+2y=5 2 x + 4 y = 10 GRAFISCHE LÖSUNG Wir stellen die beiden Gleichungen in expliziter Form dar. I. x+2y=5 É y = – 1 _ 2 x + 5 _ 2 II. 2x+4y=10 É y = – 1 _ 2 x + 5 _ 2 Die beiden Geraden haben die gleiche Steigung k und gleiches d. Sie sind somit parallel und zusammenfallend. Wir stellen sie im Koordinatensystem dar. Jeder Punkt auf dieser Geraden entspricht einer Lösung. Somit hat das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen. RECHNERISCHE LÖSUNG Wir lösen das Gleichungssystem mit der Eliminationsmethode. I. x+2y=5 ! · (– 2) ] + II. 2x+4y=10 0 = 0 (wahre Aussage!) Jedes Zahlenpaar, das die erste Gleichung erfüllt, erfüllt auch die zweite Gleichung. Das Gleichungssystem besitzt daher unendlich viele Lösungen. Die Lösungsmenge ist: L = {(x 1 y) * ℝ 21 x+2y=5}. In den letzten drei Aufgaben haben wir die im Gleichungssystem auftretenden Gleichungen jeweils als Geraden dargestellt. Allgemein lässt sich sagen: Für zwei Geraden in der Ebene gibt es nur drei mögliche gegenseitige Lagen. S I II Die Geraden schneiden einander und besitzen genau einen Schnittpunkt. Das Gleichungssystem hat genau eine Lösung. I II u u Die Geraden sind parallel und verschieden und besitzen keinen Schnittpunkt. Das Gleichungssystem hat keine Lösung. I = II Die Geraden sind parallel und zusammenfallend (ident) und besitzen unendlich viele Schnittpunkte. Das Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen. Damit ergeben sich folgende Lösungsfälle für lineare Gleichungssysteme in zwei Variablen: Satz Ein lineares Gleichungssystem in zwei Variablen hat keine Lösung, genau eine Lösung oder unendlich viele Lösungen. Im Fall unendlich vieler Lösungen liegen die zu den Lösungen gehörigen Punkte alle auf ein und derselben Geraden. 1 2 3 4 5 x 0 1 2 3 y – 1 I = II kompakt S. 200 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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