19 1.3 Aussagen 1.3 Aussagen Aussagen in der Mathematik 1.54 Gib an, ob die Aussage a) 5 < 3, b) ‒ 5 < ‒ 3 wahr oder falsch ist! Begründe! LÖSUNG a) Die Aussage 5 < 3 ist falsch, da 5 auf der Zahlengeraden nicht links von 3 liegt. b) Die Aussage ‒ 5 < ‒ 3 ist wahr, da ‒ 5 auf der Zahlengeraden links von ‒ 3 liegt. Eine mathematische Aussage ist stets entweder wahr oder falsch. Zu jeder Aussage kann man durch Verneinung (Negation) eine neue Aussage bilden. Die Verneinung einer Aussage A kennzeichnet man mit ¬ A [Lies: nicht A oder non A]. Definition Ist A eine wahre Aussage, so ist ¬ A eine falsche Aussage. Ist A eine falsche Aussage, so ist ¬ A eine wahre Aussage. BEISPIELE • Aussage A: „Jede gerade Zahl ist durch 2 teilbar.“ A ist wahr, ¬ A ist falsch. • Aussage B: „Jede gerade Zahl ist durch 4 teilbar.“ B ist falsch, ¬ B ist wahr. Zwei Aussagen A und B können auch zu einer neuen Aussage verknüpft werden: A ? B [Lies: A und B] A = B [Lies: A oder B] Definition A ? B ist genau dann wahr, wenn sowohl A als auch B wahr ist. A = B ist genau dann wahr, wenn mindestens eine der beiden Aussagen A bzw. B wahr ist. Das „Oder“ in der Mathematik wird stets im nichtausschließenden Sinn verwendet, dh. es können auch beide Aussagen wahr sein. Die Verneinung von A ? B lautet ¬ A = ¬ B. Die Verneinung von A = B lautet ¬ A ? ¬ B. BEISPIELE • A: x ist größer als 2. B: x ist kleiner als 5. A ? B: x ist größer als 2 und kleiner als 5. • A: x ist kleiner als 2. B: x ist größer als 5. A = B: x ist kleiner als 2 oder größer als 5. Zwei Aussagen A und B können sich aufeinander beziehen: A w B [Lies: Wenn A, dann B. Oder: Aus A folgt B.] A É B [Lies: A genau dann, wenn B. Oder: A äquivalent B.] Definition A w B bedeutet: W enn A wahr ist, dann ist auch B wahr. Wenn A falsch ist, dann kann B wahr oder falsch sein. A É B bedeutet: Es gilt sowohl A w B als auch B w A. BEISPIELE Für eine ganze Zahl x gilt: x = 1 w x 2 = 1 x2 = 1 É (x = 1) = (x = –1) BEACHTE Wenn A w B gilt, dann muss die Umkehrung B w A nicht gelten. Es folgt aus x = 1 zwar x2 = 1, umgekehrt folgt aber aus x2 = 1 nicht unbedingt x = 1, denn es könnte ja auch x = –1 gelten. Bei A É B gilt stets auch die Umkehrung. L Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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