18 1 GRUNDLEGENDE BEGRIFFE UND FERTIGKEITEN Terme und Formeln zur Verzinsung R Wird ein Geldbetrag (ein Kapital) auf einem Konto jährlich mit p % p.a. (pro anno) verzinst, so heißt das, dass am Ende eines jeden Jahres p % des jeweils vorhandenen Kapitals als Zinsen zum vorhandenen Kapital addiert werden. In Österreich zahlt man allerdings eine Kapitalertragsteuer (KESt) von 25 %, dh. dass ein Viertel der erhaltenen Zinsen an den Staat abgegeben werden müssen. Die verbleibenden Zinsen nennt man die effektiven Zinsen, den dazugehörigen Zinssatz p eff % = 0,75 · p % nennt man den effektiven Zinssatz. BEACHTE Im Folgenden wird ein Ausdruck der Form p % als Zinssatz bezeichnet. Die Zahl p (ohne Prozentzeichen) wird manchmal Prozentfuß genannt. 1.48 Ein Kapital von K € wird jährlich mit einem effektiven Zinssatz a) von 1 %, b) von p eff % verzinst. Wie groß ist das Kapital nach 1, 2, 3, 4 bzw. n Jahren? LÖSUNG a) Wir bezeichnen das Kapital nach n Jahren mit K n. K 1 = 1,01 · K K 2 = 1,01 · K1 = 1,01 · 1,01 · K = 1,01 2 · K K 3 = 1,01 · K2 = 1,01 · 1,01 2 · K = 1,013 · K K 4 = 1,01 · K3 = 1,01 · 1,01 3 · K = 1,014 · K K n = 1,01 n · K b) K n = (1 + p eff _ 100 ) n · K 1.49 a) Ein Kapital von 10 000 € wird jährlich mit einem effektiven Zinssatz von 0,2 % verzinst. Wie groß ist das Kapital nach 20 Jahren? b) Ein Bankguthaben von 15 500 € ist in 10 Jahren auf 15 655,70 € angewachsen. Mit welchem effektiven Zinssatz wurde das Kapital verzinst? c) Ein Sparguthaben ist im Lauf von 10 Jahren bei einer effektiven jährlichen Verzinsung von 1 % auf 49708,00 € angewachsen. Wie groß war das ursprüngliche Sparguthaben? 1.50 Ein Anfangskapital K wird 3 Jahre lang mit einem effektiven Zinssatz von p eff % verzinst und wächst dadurch auf das Endkapital E an. Ermittle eine Formel zur Berechnung von: a) E aus K und p eff b) K aus E und p eff c) p eff aus K und E 1.51 Ein Kapital K wird 3 Jahre lang mit einem effektiven Zinssatz von 0,5 % und weitere 5 Jahre mit einem effektiven Zinssatz von 0,7% verzinst. Stelle eine Formel für das Endkapital E auf! 1.52 Ein Kapital von 2 000 € wird 5 Jahre lang mit einem effektiven Zinssatz von 1,5 % verzinst. Um wie viel Prozent erhöht sich dabei das ursprüngliche Kapital? 1.53 Ein Guthaben beträgt zu Jahresbeginn x €, wird mit einem effektiven Zinssatz von u % verzinst und beträgt am Jahresende y €. Kreuze die beiden zutreffenden Gleichungen an! x + u = y y=x+u% x · (1 + u _ 100 ) = y u%vonx=y u = ( y _ x – 1) · 100 Ó Applet 7k75eb AUFGABEN R Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
RkJQdWJsaXNoZXIy ODE3MDE=