174 8 NICHTLINEARE FUNKTIONEN 8.3 Proportionalitäten höherer Ordnung Funktionen der Form f (x) = c · x 2 8.36 Ein Auto der Masse m = 1 500 kg durchfährt mit der Geschwindigkeit v (in m/s) eine Kurve vom Radius r = 50 m. Die Formel zur Berechnung der Fliehkraft in Newton lautet: F = m v 2 _ r . 1) Gib eine Termdarstellung der Funktion F: v ¦ F (v) an und zeichne deren Graphen! 2) Zeige: Der 2-fachen, 3-fachen, k-fachen Geschwindigkeit entspricht die 4-fache, 9-fache, k 2-fache Fliehkraft. 3) Gib an, welche Art von Proportionalität zwischen Fliehkraft und Geschwindigkeit vorliegt! LÖSUNG 1) F (v) = m · v 2 _ r = 1 500 · v2 __ 50 = 30 · v 2 2) F (2 · v) = 30 · (2 · v)2 = 30 · (4 · v2) = 4 · (30 · v2) = 4 · F (v) F ( 3 · v) = 30 · (3 · v) 2 = 30 · (9 · v 2) = 9 · (30 · v 2) = 9 · F (v) F ( k · v) = 30 · (k · v) 2 = 30 · k 2 · v 2 = k 2 · (30 · v 2) = k 2 · F (v) 3) Die Fliehkraft F ist zur Geschwindigkeit v weder direkt noch indirekt proportional, die Fliehkraft F ist aber zum Quadrat der Geschwindigkeit v direkt proportional (mit dem Proportionalitätsfaktor 30). Definition Gilt f(x) = c·x2 (mit c ≠ 0), dann sagt man: f (x) ist direkt proportional zum Quadrat von x (mit dem Proportionalitätsfaktor c). Die größtmögliche Definitionsmenge einer solchen Funktion ist R. Bei praktischen Anwendungen wählt man aber meist R 0 + oder eine Teilmenge von R 0 + . 8.37 Die Funktionswerte f (x) einer Funktion f sind zu den Quadraten der Argumente x direkt proportional. Es ist a) f (2) = 32, b) f (4) = 240. Gib eine Funktionsgleichung von f an! 8.38 Beim freien Fall eines Körpers (ohne Berücksichtigung des Luftwiderstands) ist die Länge s (t) des in der Zeit t zurückgelegten Wegs annähernd direkt proportional zu t2 mit dem Proportionalitätsfaktor 5 (t in Sekunden, s (t) in Meter). a) Zeichne den Graphen der Funktion s: t ¦ s(t)für0ªtª5! b) Ermittle durch Rechnung, auf das Wievielfache der zurückgelegte Weg wächst, wenn die Zeit verfünffacht wird! 8.39 Der Flächeninhalt A (r) eines Kreises mit dem Radius r ist durch A (r) = r2 · π gegeben. a) Gib an, welche Art von Proportionalität zwischen A (r) und r besteht! Begründe! b) Zeichne den Graphen der Funktion A: r ¦ A(r)für0ªrª4! c) Der Radius r wird verhundertfacht. Berechne, auf das Wievielfache dadurch A (r) wächst! d) Ermittle, auf das Wievielfache r vergrößert werden muss, damit A (r) verhundertfacht wird! 10 000 20 000 30 000 40 000 50 000 60 000 70 000 80 000 90 000 100 000 F(v) (in N) 0 1020304050 v (in m/s) 60 AUFGABEN R Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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