171 8.2 Indirekte Proportionalitätsfunktionen 8.2 Indirekte Proportionalitätsfunktionen Indirekte Proportionalität 8.25 Es gibt unendlich viele Rechtecke mit dem Flächeninhalt 100. Hat eine Seite eines solchen Rechtecks die Länge x, so hängt die Länge der anderen Seite von x ab. Wir bezeichnen die Länge der anderen Seite mit f (x). a) Gib eine Termdarstellung der Funktion f: x ¦ f (x) an und zeichne deren Graphen! b) Wie verändert sich f (x), wenn x verdoppelt bzw. halbiert wird? LÖSUNG a) x · f (x) = 100 w f (x) = 100 _ x (x > 0) Der Graph der Funktion f: R+ ¥ R 1 x ¦ f (x) ist neben‑ stehend dargestellt. b) W enn x verdoppelt wird, wird f (x) halbiert, denn: f (2 · x) = 100 _ 2 · x = 1 _ 2 · 100 _ x = 1 _ 2 · f (x) Wenn x halbiert wird, wird f (x) verdoppelt, denn: f ( x _ 2 ) = 100 _ x _ 2 = 2 · 100 _ x = 2·f(x) x f(x) f 20 40 60 80 100 20 40 60 80 100 0 In der letzten Aufgabe gilt: f (x) = 100 _ x . Man sagt: Die Seitenlänge f (x) ist zur Seitenlänge x indirekt proportional. Allgemein definieren wir: Definition Gilt für eine reelle Funktion f: A ¥ R stets f (x) = c _ x (mit c ≠ 0, x ≠ 0), so sagt man: Die Funktionswerte f (x) sind zu den Argumenten x indirekt proportional. Die Funktion f nennt man indirekte Proportionalitätsfunktion. Der größtmögliche Definitionsbereich einer indirekten Proportionalitätsfunktion ist R*, in praktischen Anwendungen ist er aber meist R+ oder eine Teilmenge von R+. Wie man an der Aufgabe 8.25 sieht, ist der Graph einer indirekten Proportionalitätsfunktion keine Gerade. Eine indirekte Proportionalität ist also kein linearer Zusammenhang. Satz (Eigenschaften einer indirekten Proportionalitätsfunktion) Ist f eine indirekte Proportionalitätsfunktion mit f (x) = c _ x (c ≠ 0, x ≠ 0), dann gilt: (1) f(a·x)= f (x) _ a (für a ≠ 0) Dem a-fachen Argument entspricht der a-te Teil des Funktionswertes. (2) c = f (1) Die Konstante c ist der Funktionswert an der Stelle 1. (3) f(x)·x=c Das Produkt aus Funktionswert und Argument ist konstant. BEWEIS (1) f (a · x) = c _ a · x = 1 _ a · c _ x = 1 _ a ·f(x) = f (x) _ a (2) f(1) = c _ 1 = c (3) f (x) · x = c _ x ·x=c R 100 x f(x) Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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