168 8 NICHTLINEARE FUNKTIONEN Quadratische Modelle R Wird eine Situation durch eine quadratische Funktion f der Form f (x) = a x2 + b x + c beschrieben, so sagt man, dass ein quadratisches Modell für die Situation erstellt wird. Man spricht von quadratischer Modellierung. In vielen Anwendungssituationen ist es zweckmäßig, das Koordinatensystem so zu wählen, dass der Graph von f symmetrisch zur 2. Achse ist, weil dann der Graph durch die einfache Funktionsgleichung f (x) = a x2 + c beschrieben werden kann. Es gilt nämlich: Satz Der Graph einer quadratischen Funktion f mit f(x) = ax2 +bx+c (a ≠ 0) ist genau dann symmetrisch bezüglich der 2. Achse, wenn b = 0 ist. BEWEIS Für alle x * R + gilt: f (– x) = f (x) É a(– x)2 + b(–x) + c = ax2 +bx+c É – b x = b x É b = 0 8.16 Ein Seil ist in den Punkten P = (– 2 1 3,76) und Q = (2 1 3,76) befestigt (Maße in m). Das Seil hängt so durch, dass sein tiefster Punkt 1 m über dem Boden ist. Es sei h die Funktion, die jeder Stelle x * [– 2; 2] die Höhe h (x) des Seils über dem Boden zuordnet (Maße in m). a) Begründe, dass es angemessen ist, h durch eine quadratische Funktion anzunähern! b) Die Funktion h kann näherungsweise durch eine Funktion ‾h der Form ‾h(x) = a x2 + c mit a und c > 0 ersetzt werden. Ermittle a und c und gib eine Termdarstellung von ‾h an! c) Zeichne auch den Graphen von ‾hin das Koordinatensystem ein und überprüfe damit, dass ‾haugenscheinlich eine gute Näherung von h ist! 8.17 Die Dachträger von Flugzeughangars haben oft die Gestalt von Parabeln. Beschreibe einen Dachträger mit der Spannweite 100 m und der Höhe 20 m durch eine quadratische Funktion f der Form f (x) = a · x2 + c mit a, c * R*! Wähle dazu den Ursprung O im Fußpunkt der größten Höhe! 100 m 20 m O 8.18 Eine einspurige Tordurchfahrt hat die Höhe 5 m und die Bodenbreite 6 m. Der Torbogen lässt sich durch eine quadratische Funktion f der Form f (x) = a x2 + c mit a, c * R* beschreiben, wenn der Ursprung im Fußpunkt der größten Höhe gewählt wird. In der EU dürfen Lastwägen höchstens 4m hoch und höchstens 2,55 m breit sein. Kann jeder Lastwagen, der diesen Vorschriften genügt, die Tordurchfahrt passieren? Begründe durch Rechnung! AUFGABEN R x h(x) P Q 1 2 –2 –1 1 2 3 4 0 6 m 5 m O Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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