164 8 NICHTLINEARE FUNKTIONEN 8.07 Kreuze die beiden Aussagen an, die auf eine Funktion f mit f (x) = x2 + px + q (mit p,q * R) zutreffen! Wenn f (– p _ 2 ) < 0, dann besitzt f keine Nullstelle. Wenn f (– p _ 2 ) = 0, dann besitzt f genau eine Nullstelle. Wenn f (– p _ 2 ) > 0, dann besitzt f genau zwei Nullstellen. Wenn f (– p _ 2 ) º 0, dann besitzt f mindestens eine Nullstelle. Wenn der Scheitel im Ursprung liegt, dann besitzt f höchstens eine Nullstelle. Linearfaktordarstellung einer quadratischen Funktion R Wir betrachten eine quadratische Funktion f mit f (x) = a x 2 + b x + c und a ≠ 0. Hat die Funktion f die Nullstellen x1 und x2, dann lässt sich die Funktionsgleichung nach dem Satz von Vieta so umformen: f (x) = a x 2 +bx+c= a · (x 2 + b _ a ·x+ c _ a ) =a·(x–x1)·(x–x2) Definition Hat eine quadratische Funktion f mit f (x) = a x2 + b x + c die Nullstellen x 1 und x2, dann bezeichnet man die Darstellung f(x)=a·(x–x1)·(x–x2) als Linearfaktordarstellung der quadratischen Funktion f. 8.08 Die quadratische Funktion f hat die Nullstellen x 1 = –1 und x2 = 3. Weiters gilt: f (1) = – 8. Gib eine Funktionsgleichung von f der Form f (x) = a x2 +bx+can! LÖSUNG • Die Linearfaktordarstellung von f lautet: f(x)=a·(x–x1)·(x–x2) = a · (x + 1) · (x – 3) • f(1) = –8 w a · (1 – (– 1)) · (1 – 3) = a · 2 · (– 2) = – 8 w a = 2 • Daher gilt: f(x) = 2·(x +1)·(x – 3) = 2x2 –4x–6 8.09 Gib zur dargestellten Funktion f eine Gleichung der Form f (x) = a x2 +bx+can! a) x f(x) 1 2 3 4 f 2 1 3 4 –2 –1 –3 –2 –1 O b) x f(x) 1 2 3 f 2 1 3 4 –2 –1 –4 –3 –2 –1 O c) x f(x) 1 2 3 4 5 6 f 2 1 3 4 5 –1 –1 O 8.10 Ermittle, falls möglich, zur gegebenen quadratischen Funktion eine passende Linearfaktordarstellung! Andernfalls erkläre, warum das nicht möglich ist! a) f (x) = x2 – 1 d) h(x) = 4x2 +3x+ 1 _ 2 b) f(x) = –2x2 + 8x + 64 e) h (x) = – x 2 –10x – 25 c) f (x) = x2 + 4 f) h(x) = 2x2 +4x+4 kompakt S. 183 AUFGABEN R Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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