163 8.1 Quadratische Funktionen Quadratische Gleichungen und quadratische Funktionen R Die Nullstellen einer quadratischen Funktion f mit f(x) = ax2 +bx+c (mit a ≠ 0) sind identisch mit den Lösungen der quadratischen Gleichung a x 2 +bx+c=0. Eine quadratische Gleichung kann man (näherungsweise) grafisch lösen, indem man die eventuell vorhandenen Nullstellen des Graphen der zugehörigen quadratischen Funktion abliest. Damit lassen sich auch die Lösungsfälle für quadratische Gleichung grafisch demonstrieren. Wir gehen dazu von einer Gleichung a x2 +bx+c=0(mita ≠ 0)aus. Diese Gleichung bringen wir nötigenfalls mittels Division durch a auf die Form: x 2 + p x + q = 0. Die zugehörige Diskriminante lautet dann D = p 2 _ 4 – q. Der Graph der Funktion f mit f (x) = x 2 + p x + qist eine nach oben offene Parabel. Je nach Lage dieser Parabel zur 1. Achse gibt es genau zwei Nullstellen, genau eine Nullstelle oder keine Nullstelle. Die Gleichung x2 + p x + q = 0hat also genau zwei Lösungen, genau eine Lösung oder keine Lösung. – D S x1 x2 f(x) x f – D S f(x) x x1 = x2 f – D S f(x) x f Abb. 8.1 a Abb. 8.1 b Abb. 8.1 c Die 2. Koordinate von S lautet: f (– p _ 2 ) = p 2 _ 4 – p 2 _ 2 + q = – p 2 _ 4 + q = – D. Somit gilt: S = (– p _ 2 | – D). Wir können jetzt folgende Fallunterscheidung durchführen: Ist D > 0, dann liegt S unterhalb der 1. Achse und es gibt genau zwei Nullstellen von f (Abb. 8.1 a). Ist D = 0, dann liegt S auf der 1. Achse und es gibt genau eine Nullstelle von f (Abb. 8.1 b). Ist D < 0, dann liegt S oberhalb der 1. Achse und es gibt keine Nullstelle von f (Abb. 8.1 c). Man erkennt außerdem: Für positives D unterscheiden sich die beiden Nullstellen umso weniger, je kleiner D wird, bis sie schließlich für D = 0 zusammenfallen. 8.06 Die quadratische Gleichung x 2 – 5x + 4 = 0wird grafisch mithilfe einer quadratischen Funktion f gelöst. Kreuze an, welcher der folgenden Graphen der Form nach zu f passen könnte! x f(x) f x f(x) f x f(x) f x f(x) f x f(x) f x f(x) f AUFGABEN R Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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