151 7.5 Vergleich von linearen Funktionen 7.62 In einem Öltank steht das Öl 4,8 m hoch. Das Öl wird über einen Schlauch in einen breiteren Tank umgefüllt, wobei der Ölspiegel im ersten Tank um 5 dm pro Stunde sinkt und im zweiten Tank um 4 dm pro Stunde steigt. Ermittle rechnerisch und grafisch, nach welcher Zeit das Öl in beiden Tanks gleich hoch steht! 7.63 Zwei drehzylindrische Tanks mit gleicher Grundfläche werden mit einer Flüssigkeit gefüllt. Im ersten Tank befinden sich zu Beginn 1 000 ® und pro Minute fließen 250 ® zu. Der zweite Tank ist zu Beginn leer und pro Minute fließen 500 ® zu. Beantworte rechnerisch und grafisch: 1) Nach welcher Zeit enthalten beide Tanks gleich viel Flüssigkeit? 2) Zu welchen Zeitpunkten unterscheiden sich die beiden Tankinhalte um 125 ®? 7.64 Ein Transporter fährt mit ca. 80 km/h auf einer Autobahn. Nach einer Dreiviertelstunde fährt ihm ein Firmenfahrzeug mit ca. 100 km/h nach. Ermittle grafisch und rechnerisch, wann und wo ungefähr das Firmenfahrzeug den Transporter einholt! Lineare Kosten- und Gebührenfunktionen R 7.65 In einem Betrieb werden Rohre erzeugt. Die monatlichen Fixkosten für diese Produktion betragen 10 000 €, die variablen Kosten betragen 5 € pro Meter erzeugten Rohres. Beim Verkauf von 1 m Rohr ergibt sich ein Erlös von 10 €. 1) Ermittle rechnerisch und grafisch, wie viel Meter Rohr verkauft werden müssen, damit der Erlös die Produktionskosten übersteigt! 2) Die Gewinnfunktion G ordne jeder produzierten Rohrlänge x den Gewinn G (x) zu. Gib eine Termdarstellung dieser Funktion an und zeichne deren Graphen! 3) Für welche x ist der Gewinn positiv, für welche negativ? Was bedeutet ein negativer Gewinn? LÖSUNG 1) Die Kosten für die Produktion von x m Rohr betragen: K (x) = 10 000 + 5 · x Beim Verkauf von x m Rohr beträgt der Erlös: E (x) = 10 · x Wir untersuchen, für welches x gilt: E(x) > K(x) 10x > 10000 + 5x x > 2000 Es müssen also mehr als 2 000 m Rohr verkauft werden, damit der Erlös die Produktionskosten übersteigt. 2) 3) Zur grafischen Lösung zeichnen wir die Graphen der Erlösfunktion E und der Kostenfunktion K. Aus der Abbildung kann dann dieselbe Lösung abgelesen werden. Gewinn = Erlös – Kosten G(x) = E(x) – K(x) = 5·x –10000 Der Graph von G ist in der Abbildung eingezeichnet. Für x > 2 000 ist der Gewinn positiv, für x < 2 000 negativ. Negativer Gewinn bedeutet Verlust. Rohrlänge x E(x), K(x), G(x) 2 000 4 000 6 000 10000 20000 30000 40000 50000 60000 –10000 0 E K G Ó Applet 4w3dr9 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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