145 7.4 Direkte Proportionalitätsfunktionen Allgemein gilt: Satz (Eigenschaften einer direkten Proportionalitätsfunktion) Ist f eine direkte Proportionalitätsfunktion mit f (x) = k · x (k ≠ 0), dann gilt: (1) f (a · x) = a · f (x) Dem a-fachen Argument entspricht der a-fache Funktionswert. (2) f(x + y) = f(x) + f(y) Der Summe der Argumente entspricht die Summe der Funktionswerte. (3) k = f(1) Der Proportionalitätsfaktor ist der Funktionswert an der Stelle 1. (4) k = f (x) _ x (für x ≠ 0) Der Proportionalitätsfaktor ist gleich dem (konstanten) Verhältnis von Funktionswert und Argument. BEWEIS (1) f (a · x) = k · (a · x) = a · (k · x) = a · f (x) (3) f(1)=k·1=k (2) f(x+y)=k·(x+y)=k·x+k·y=f(x)+f(y) (4) f (x) _ x = k · x _ x = k BEACHTE Aus f(x) = k·x (mit k ≠ 0) folgt x = 1 _ k · f (x). Es gilt somit: Satz Sind die Funktionswerte zu den Argumenten direkt proportional, dann sind auch die Argumente zu den Funktionswerten direkt proportional (wobei der neue Proportionalitätsfaktor der Kehrwert des alten ist). Kurz: Die Funktionswerte und die Argumente sind zueinander direkt proportional. 7.42 Die Werte der Funktion f sind zu den Argumenten direkt proportional. Man kennt den Wert von f an einer von 0 verschiedenen Stelle. Gib eine Termdarstellung von f an, zeichne den Graphen von f und berechne f (3) sowie f (4,5)! a) f (1) = 0,4 b) f(2) = 8 c) f (10) = 15 d) f (3,4) = 10,2 e) f (56) = 100,8 7.43 Der Preis P (x) von x Kilogramm einer Ware ist zur Warenmenge x direkt proportional. a) P (10) = 35. Berechne P (1), P (5) und P (45)! c) P (a) = b. Berechne P (1), P (2 a) und P (10 a)! b) P (20) = 86. Berechne P (1), P (25) und P (100)! d) P (c) = d. Berechne P (1), P (c + 1) und P (c – 1)! 7.44 Der Preis eines Stoffes auf einem Stoffballen ist direkt proportional zur Länge des Stoffes. Gib aufgrund der folgenden Angabe eine Termdarstellung der Funktion P an, die jeder Stofflänge x den Preis P (x) des Stoffes zuordnet und berechne daraus die Preise von 1 m, 5 m und 9,4 m Stoff! a) 2,6 m Stoff kosten 84,24 €. c) 6,3 m Stoff kosten 288,54 €. b) 5,5 m Stoff kosten 222,75 €. d) 8,9 m Stoff kosten 216,27€. 7.45 Zwischen dem Argument x und dem Funktionswert f(x) besteht der folgende Zusammenhang. Ist f (x) zu x direkt proportional? Wenn ja, gib den Proportionalitätsfaktor an! a) f (x) = 6,5 · x b) f (x) = 0,8 · x c) f(x) = x : 0,7 d) x = f (x) _ 100 7.46 Die folgende Formel gilt für eine direkte Proportionalitätsfunktion f. Gilt sie auch für eine beliebige lineare Funktion f? Begründe! a) f(1) = k b) f (a · x) = a · f (x) c) f(x + y) = f(x) + f(y) AUFGABEN R Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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