144 7 LINEARE FUNKTIONEN 7.4 Direkte Proportionalitätsfunktionen Direkte Proportionalität Im Folgenden wiederholen und erweitern wir das, was wir in der Unterstufe über direkte Proportionalität gelernt haben, in der „Funktionensprache“. 7.40 Eine Ware kostet 5 € pro Kilogramm. Es sei P (x) der Preis von x kg dieser Ware. Stelle eine Formel für P (x) auf und zeichne den Graphen der Funktion P für 0 ª x ª 6! LÖSUNG P (x) = 5 · x 1 2 3 4 5 6 x 0 10 20 30 5 P(x) In der letzten Aufgabe war der Preis stets das Fünffache der Warenmenge. Man sagt: Der Preis ist zur Warenmenge direkt proportional. Allgemein definiert man: Definition Ist f eine reelle Funktion mit f(x)=k·x(mitk≠0), so sagt man: Die Funktionswerte f (x) sind zu den Argumenten x direkt proportional. Die Funktion f nennt man eine direkte Proportionalitätsfunktion. Die Konstante k heißt Proportionalitätsfaktor. Eigenschaften einer direkten Proportionalitätsfunktion R 7.41 Für den Preis P (x) von x kg einer Ware gelte: P (x) = 5 · x a) Zeige: Der doppelten, dreifachen, halben, a-fachen Warenmenge entspricht der doppelte, dreifache, halbe, a-fache Preis. b) Zeige: Der Summe zweier Warenmengen entspricht die Summe der Preise. c) Wie groß ist P (1)? Was bedeutet P (1)? d) Was lässt sich über den Quotienten P (x) _ x aussagen? LÖSUNG a) P (2 · x) = 5 · (2 · x) = 2 · (5 · x) = 2 · P (x) P ( 1 _ 2 · x) = 5 · ( 1 _ 2 · x) = 1 _ 2 ·(5·x)= 1 _ 2 · P (x) P (3 · x) = 5 · (3 · x) = 3 · (5 · x) = 3 · P (x) P (a · x) = 5 · (a · x) = a · (5 · x) = a · P (x) b) Sind x und y zwei Warenmengen, dann gilt: P (x + y) = 5 · (x + y) = 5 · x + 5 · y = P (x) + P (y) c) P(1) = 5·1 = 5. P (1) ist der Kilogrammpreis der Ware. d) P (x) _ x = 5 · x _ x = 5. Der Quotient ist konstant und gleich dem Kilogrammpreis 5. R Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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