135 7.2 Eigenschaften linearer Funktionen Deutungen der Steigung k R Aus den Formeln (1) und (2) des letzten Satzes ergeben sich durch einfache Umformungen folgende Deutungen der Steigung k: (1) k = f (x + 1) – f (x) Die Steigung k ist gleich der Änderung der Funktionswerte bei Erhöhung des Arguments um 1. (2) k = f (x + h) – f (x) __ h (h > 0) Die Steigung k ist gleich dem Verhältnis der Änderung der Funktionswerte zur Änderung der Argumente. Setzt man x = x1 und x + h = x2, so kann die Formel (2) auch so geschrieben werden: k = f (x + h) – f (x) __ h = f (x 2) – f (x 1) __ x 2 – x 1 Der Ausdruck f (x 2) – f (x1) __ x 2 – x 1 ist ein Quotient zweier Differenzen und heißt deshalb Differenzenquotient von f im Intervall [x 1; x 2]. Merke Die Steigung k einer linearen Funktion f ist gleich dem Differenzenquotienten von f in einem beliebigen Intervall [x1; x 2]. x1 x2 f f(x2) – f(x1) f(x2) f(x1) x1 x2 x2 – x1 f x2 – x1 f(x1) f(x2) †f(x2) – f(x1)† x f(x) x f(x) Steigungsdreiecke R Die weißen Dreiecke in den vorangegangenen Abbildungen bezeichnet man als Steigungsdreiecke. Man zeichnet ein Steigungsdreieck bei einer steigenden Geraden unterhalb der Geraden und bei einer fallenden Geraden über der Geraden ein. • Ablesen der Steigung aus dem vorgegebenem Graphen: Man zeichnet ein beliebig großes Steigungsdreieck ein und liest die Kathetenlängen a und b ab. Dann ist k = b _ a , wenn f steigt, und k = – b _ a , wenn f fällt. • Zeichnen des Graphen bei vorgegebener Steigung k = ± b _ a und einem Punkt P des Graphen: Ist k > 0, geht man von P aus um a nach rechts und anschließend um b nach oben. Ist k < 0, geht man von P aus um a nach rechts und anschließend um b nach unten. Merke • Steigung k = ± b _ a („Senkrechte durch Waagrechte“) • k > 0 É f steigt und k < 0 É f fällt Ó Lernapplet 962fv7 f P P a f a b b 2. A. 2. A. 1. A. 1. A. Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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