131 7.1 Lineare Funktionen und deren Graphen b) Beachte, dass das Becken nach vier Stunden voll ist! t V (t) 0 16 000 1 16 000 + 8 000 · 1 = 24 000 2 16 000 + 8 000 · 2 = 32 000 3 16 000 + 8 000 · 3 = 40 000 4 16 000 + 8 000 · 4 = 48 000 t 16 000 + 8 000 · t 0 1 2 3 4 5 6 48 000 8 000 V(t) (in ®) t (in h) V (t) = 16 000 + 8 000 · t, wobei t * [0; 4] Es ist nicht ganz klar, welche Zahlen für t eingesetzt werden dürfen, weil fraglich ist, wie genau man einen Zeitpunkt t messen kann. Wir nehmen aber der Einfachheit halber an, dass man für t in a) alle Zahlen aus dem Intervall [0; 6] und in b) alle Zahlen aus dem Intervall [0; 4] einsetzen darf. 7.02 Das vorhin betrachtete Becken ist voll, dh. es befinden sich 48 000 ® Wasser darin. Da der Abfluss verstopft ist, muss das Becken ausgepumpt werden. Die Pumpe schafft 6 000 ® pro Stunde. Gib eine Termdarstellung der Funktion an, die jedem Zeitpunkt t das Wasservolumen V (t) im Becken zuordnet, und zeichne deren Graphen! LÖSUNG V (t) = 48 000 – 6 000 · t, wobei t * [0; 8] Die in den Aufgaben 7.01 und 7.02 betrachteten Funktionen waren alle von der Form V (t) = k · t + d, wobei k und d gewisse reelle Zahlen waren. 7.01 a): V (t) = 8 000 · t dh.k=8000,d=0 7.01 b): V (t) = 8 000 · t + 16 000 dh. k = 8 000, d = 16 000 7.02: V (t) = – 6 000 · t + 48 000 dh. k = – 6 000, d = 48 000 Funktionen dieser Art haben einen eigenen Namen: Definition Eine reelle Funktion f: A ¥ R mit f(x)=k·x+d (mit k, d * R) heißt lineare Funktion. In den obigen Aufgaben haben wir angenommen, dass der Graph von f eine Gerade ist. Dies ist aber von vornherein nicht klar, weil wir nicht für alle unendlich vielen Punkte des Graphen überprüfen können, ob sie auf einer Geraden liegen. Wir müssen dies daher beweisen. Satz Der Graph einer linearen Funktion f mit f (x) = k · x + d (mit k, d * R) ist eine Gerade. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 6 000 12 000 18 000 24 000 30 000 36 000 42 000 48 000 V(t) (in ®) t (in h) Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
RkJQdWJsaXNoZXIy ODE3MDE=