115 6.1 Reelle Funktionen und deren Graphen Gleichung einer reellen Funktion R BEISPIEL Die Funktion f: x ¦ y, die jedem x den Funktionswert y = 2 x – x 2 zuordnet, kann u.a. auf folgende Arten angeschrieben werden: f(x) = 2x – x2 bzw. y=2x–x2 Jede dieser beiden Darstellungen wird als Funktionsgleichung von f bezeichnet. Die Darstellung f(x) = 2x – x2 heißt auch Termdarstellung von f, weil der Funktionswert f (x) durch einen Term in x ausgedrückt wird. BEACHTE In der Schreibweise „f (x) = …“ wird im Gegensatz zur Schreibweise „y = …“ der Name f der betrachteten Funktion sichtbar, was häufig nützlich ist. Ermitteln einer geeigneten Definitionsmenge R Nicht jede Gleichung in x und y legt eine Funktion von ℝ nach ℝ fest. Manchmal ist die Definitionsmenge nur eine echte Teilmenge von ℝ. 6.13 Legt die folgende Gleichung eine Funktion f: ℝ ¥ ℝ 1 x ¦ y fest? Wenn nicht, gib eine möglichst große Teilmenge von ℝ als Definitionsmenge an, sodass eine Funktion festgelegt wird! a) x·y+y=1 b) � _ x–y=1 LÖSUNG a) x·y+y=1 É y · (x + 1) = 1 É y = 1 _ x + 1 E s liegt keine Funktion f: ℝ ¥ ℝ 1 x ¦ y vor, da der Zahl x = –1 kein y zugeordnet werden kann. Wählt man aber ℝ\{–1} als Definitionsmenge, dann liegt eine Funktion vor: f: ℝ\{– 1} ¥ ℝ 1 x ¦ y b) � _ x–y=1 É y = � _ x – 1 Es liegt keine Funktion f: ℝ ¥ ℝ 1 x ¦ y vor, da jeder negativen Zahl x kein y-Wert zugeordnet werden kann. Wählt man aber ℝ 0 + als Definitionsmenge, dann liegt eine Funktion vor: f: ℝ 0 + ¥ ℝ 1 x ¦ y Falls bei einer Gleichung einer Funktion keine Definitionsmenge angegeben ist, wählt man üblicherweise ℝ oder die größtmögliche Teilmenge von ℝ als Definitionsmenge. 6.14 Kreuze jene beiden Gleichungen an, die eine Funktion f: ℝ ¥ ℝ † x ¦ y festlegen! y _ x –y=x y 2 = x – 1 1 _ 2 y=1–2xy 2y=y+2x+2 1=4x+4y 6.15 Legt die folgende Gleichung eine Funktion f: ℝ ¥ ℝ 1 x ¦ y fest? Wenn nicht, gib eine möglichst große Teilmenge von ℝ als Definitionsmenge an, sodass eine Funktion festgelegt wird! a) x · y = 1 b) y = 2 _ x + 3 c) y = x _ 1 + 4 x d) y = 3 __ x (x + 4) AUFGABEN R Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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