104 5 BERECHNUNGEN IN BELIEBIGEN DREIECKEN Cosinussatz L 5.44 Von einem Dreieck kennt man b, c und α. Stelle eine Formel zur Berechnung von a auf! (SWS-Fall) LÖSUNG Der Sinussatz hilft hier nicht weiter, denn es ist keine Seite mit dem gegenüberliegenden Winkel gegeben. Wir können die Aufgabe aber lösen, wenn wir das Dreieck durch die Höhe h in zwei rechtwinkelige Dreiecke zerlegen. Dreieck I: sin α = h _ b w h = b · sin α cos α = x _ b w x = b · cos α Dreieck II: y = c – x = c – b · cos α Nach dem pythagoräischen Lehrsatz gilt: a 2 = h 2 + y 2 = b 2· sin 2 α + (c – b · cos α) 2 a 2 = b 2· sin 2 α + c 2 – 2 b c · cos α + b 2· cos 2 α a 2 = b 2· (sin 2 α + cos 2 α) + c 2 – 2 b c · cos α a 2 = b 2 + c 2 – 2 b c · cos α a = � _______________ b 2 + c 2 – 2 b c · cos α In der letzten Aufgabe haben wir die Formel a 2 = b 2 + c 2 – 2 b c · cos α hergeleitet. Dabei haben wir ein spitzwinkeliges Dreieck vorausgesetzt. Man kann aber zeigen, dass diese Formel auch für rechtwinkelige und stumpfwinkelige Dreiecke gilt. In analoger Weise kann man die restlichen Formeln des folgenden Satzes beweisen: Cosinussatz In jedem Dreieck gilt: a 2 = b 2 + c 2 – 2 b c · cos α b 2 = c 2 + a 2 – 2 c a · cos β c 2 = a 2 + b 2 – 2 a b · cos γ Der Cosinussatz stellt eine Beziehung zwischen den drei Seitenlängen und dem Cosinus eines Winkels her. Beachte, dass es sich immer um jenen Winkel handelt, der von den auf der rechten Seite vorkommenden Seiten eingeschlossenen wird. 5.45 Von einem Dreieck kennt man a = 7, b = 9 und γ = 30°. Fertige eine maßstabsgetreue Zeichnung an und berechne c, α und β! (SWS-Fall) LÖSUNG Berechnung von c (mit dem Cosinussatz): c 2 = a 2 + b 2 – 2 a b · cos γ c = � _______________ a 2 + b 2 – 2 a b · cos γ = � __________________ 7 2 + 9 2 – 2·7·9·cos30°≈ 4,57 Berechnung von α (mit dem Sinussatz): sin α _ a = sin γ _ c w sin α = a · sin γ __ c = 7 · sin 30° __ c α 1 ≈ 49,99°, α 2 = 180° – α 1 ≈ 130,01° An der maßstabsgetreuen Zeichnung erkennt man: α ≈ 49,99° Berechnung von β: β = 180° – (α + γ) ≈ 100,01° α b a A B C β γ h II I x y c α b c a β γ α b a β γ c Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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