103 5.4 Sinussatz und Cosinussatz 5.37 Von einem Dreieck kennt man a = 7, b = 6 und α = 60°. Fertige eine maßstabsgetreue Zeichnung an und berechne β, γ und c! (SSW-Fall) LÖSUNG Berechnung von β: S chreibe den Sinussatz so an, dass die gesuchte Größe an erster Stelle steht; das erleichtert das Umformen! sin β _ b = sin α _ a w sin β = b · sin α __ a = 6 · sin 60° __ 7 β 1 ≈ 47,93°, β 2 = 180° – β 1 ≈ 132,07° Anhand der maßstabsgetreuen Zeichnung erkennt man, dass β spitz ist. Somit kommt nur die erste Lösung in Frage: β ≈ 47,93°. Berechnung von γ: γ = 180° – (α + β) ≈ 72,07° Berechnung von c: c _ sin γ = a _ sin α w c = a · sin γ _ sin α = 7 · sin γ __ sin 60° ≈ 7,69 BEMERKUNG β 2 kann man auch folgendermaßen ausschließen: • Es wäre α + β 2 > 180°, was in einem Dreieck nicht sein kann. • In einem Dreieck liegt der längeren Seite stets der größere Winkel gegenüber. Wegen a > b ist α > β und somit kommt β 2 nicht in Frage. Der Sinussatz ist im SWW-Fall und im SSW-Fall anwendbar. 5.38 Berechne die übrigen Seitenlängen und Winkelmaße des Dreiecks! a) a = 8, b = 7, α = 55° c) a = 6, α = 75°, β = 45° e) c = 4,5, β = 35°, γ = 66° b) b = 5, c = 2, β = 62° d) b = 5, α = 65°, β = 40° f) b = 5,5, β = 56°, γ = 56° 5.39 Vom nebenstehenden Dreieck kennt man die folgenden Seitenlängen und Winkelmaße. Stelle Formeln zur Berechnung der übrigen Seitenlängen auf! a) w, δ, ε b) v, δ, φ c) u, δ, φ d) v, δ, ε 5.40 Berechne die Seitenlängen des nebenstehend abgebildeten Parallelogramms! 5.41 Gegeben ist ein Halbkreis mit dem Mittelpunkt M. Der Punkt N liegt in der Mitte zwischen M und B. Man kennt den Radius r = 9 cm und den Winkel α = 54°. Berechne den Winkel β! 5.42 Einem Beobachter erscheint die Spitze eines Berges unter dem Höhenwinkel α = 42,9°. Den darauf befindlichen 59 m hohen Aussichtsturm sieht man unter dem Sehwinkel 1,1°. Wie hoch befindet sich die Bergspitze über dem Auge des Beobachters? Wie groß ist der Horizontalabstand der Bergspitze vom Beobachter? 5.43 Auf der Reiseflughöhe angelangt gibt der Kapitän eines Passagierflugzeugs dem Autopiloten folgende Daten ein: Kurs: S 2° O, Eigengeschwindigkeit: 850 km/h. Aufgrund eines Ostwindes fliegt die Maschine tatsächlich in Richtung S 1° W. Welche Geschwindigkeit hat der Wind? α b c a β γ AUFGABEN L δ v u w ε φ B C 30° 15° D 5 A B M r N A β α 2° 850 1° Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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