Mathematik verstehen 5, Schulbuch

2 4 6 8 10 2 4 -2 -6 -4 -8 -10 QuickMedia App für digitale Zusatzmaterialien 5 Mathematik verstehen WOSCHITZ | KOTH | SALZGER | ULOVEC

Mathematik verstehen 5, Schülerbuch und E-Book Schulbuchnummer 180822 Mathematik verstehen 5, Schülerbuch mit E-BOOK+ Schulbuchnummer 185396 Mathematik verstehen 5, Schülerbuch E-Book Solo Schulbuchnummer 207942 Mathematik verstehen 5, Schülerbuch E-BOOK+ Solo Schulbuchnummer 207943 Mit Bescheid des Bundesministeriums für Bildung vom 13. Juli 2022, GZ 2022-0.317.416, gemäß § 14 Absatz 2 und 5 des Schulunterrichtsgesetzes, BGBl. Nr. 472/86, und gemäß den derzeit geltenden Lehrplänen als für den Unterrichtsgebrauch für die 5. Klasse an allgemein bildenden höheren Schulen – Oberstufe im Unterrichtsgegenstand Mathematik (Lehrplan 2018) geeignet erklärt. Dieses Werk wurde auf der Grundlage eines zielorientierten Lehrplans verfasst. Konkretisierung, Gewichtung und Umsetzung der Inhalte erfolgen durch die Lehrerinnen und Lehrer. Liebe Schülerin, lieber Schüler, Sie bekommen dieses Schulbuch von der Republik Österreich für Ihre Ausbildung. Bücher helfen nicht nur beim Lernen, sondern sind auch Freunde fürs Leben. Kopierverbot Wir weisen darauf hin, dass das Kopieren zum Schulgebrauch aus diesem Buch verboten ist – § 42 Abs. 6 Urheberrechtsgesetz: „Die Befugnis zur Vervielfältigung zum eigenen Schulgebrauch gilt nicht für Werke, die ihrer Beschaffenheit und Bezeichnung nach zum Schul- oder Unterrichtsgebrauch bestimmt sind.“ Technische Zeichnungen: Da-TeX Gerd Blumenstein, Leipzig Bildnachweis: U1: ananaline / Getty Images - iStockphoto; S. 12: sonya etchison / Fotolia; S. 13: MEV-Verlag, Germany; S. 14: prudkov / Fotolia; S. 15: Piotr Krześlak / Thinkstock; S. 16: Sportlibrary - Fotolia.com; S. 32: akg-images; S. 48: Gina Sanders - Fotolia.com; S. 65: Peter Bosch - Fotolia.com; S. 67: Kim Warden - Fotolia.com; S. 69: Copyright Sheila Terry / Science Photo Library / picturedesk.com; S. 73: Mlenny Photography / iStockphoto; S. 76: Pavel Talashov / iStockphoto.com; S. 79: sumnersgraphicsinc - Fotolia.com; S. 83: PRO CARAT e.K.; S. 83: schneemann - Fotolia.com; S. 84: sonya etchison - Fotolia.com; S. 93: Paul D.Stewart / Science Photo Library / picturedesk.com; S. 94: Kadmy - Fotolia.com; S. 109: Julien Grondin/ iStockphoto. com; S. 122: Viktor - Fotolia.com; S. 129: Windofchange64 / iStockphoto.com; S. 130: Arthur Kwiatkowski / iStockphoto.com; S. 140: Stefan Richter - Fotolia.com; S. 141: Marjan Laznik / iStockphoto.com; S. 145: Günay Mutlu - iStockphoto.com; S. 148: rzoze19 / iStockphoto.com; S. 149.1: OPIS - iStockphoto.com; S. 149.2: steffiiiii / Thinkstock; S. 154: Prill Mediendesign & Fotografie - iStockphoto.com; S. 158: james steidl / iStockphoto.com; S. 168: Global_Pics / Thinkstock; S. 169: HAYkan Karlsson / iStockphoto; S. 176: TongRo Images / Thinkstock; S. 189: payphoto / iStockphoto.com; S. 193: Monkey Business / Fotolia; S. 198: Batke / iStockphoto.com; S. 199: Heike Rau / Thinkstock; S. 203: yenzaar / Fotolia; S. 207: otisthewolf / Fotolia; S. 215: Csaba Toth / iStockphoto.com; S. 217: zentilia / Thinkstock; S. 280: atref / iStockphoto.com; S. 281: Jeremiah Nichols / Thinkstock; S. 282: Jyeshern Cheng - iStockphoto.com 1. Auflage (Druck 0001) © Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2023 www.oebv.at Alle Rechte vorbehalten. Jede Art der Vervielfältigung, auch auszugsweise, gesetzlich verboten. Redaktion: Mag. Melanie Zimmermann, Wien Herstellung: Ing. Bianca Mannsberger, Wien Umschlaggestaltung und Layout: normaldesign GbR, Schwäbisch Gmünd Druck: Brüder Glöckler GmbH, Wöllersdorf ISBN 978-3-209-12361-9 (Mathematik verstehen OS SB 5 + E-Book) ISBN 978-3-209-12365-7 (Mathematik verstehen OS SB 5 mit E-BOOK+) ISBN 978-3-209-12393-0 (Mathematik verstehen OS SB 5 E-Book Solo) ISBN 978-3-209-12397-8 (Mathematik verstehen OS SB 5 E-BOOK+ Solo) Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

Mathematik verstehen 5 Hochschulprofessorin Mag. Dr. Maria Koth Prof. Mag. Dr. Helge Woschitz Prof. Mag. Dr. Bernhard Salzger MMag. Dr. Andreas Ulovec Unter Mitarbeit von: Univ. Prof. Mag. Dr. Günther Malle Prof. Mag. Sonja Malle Die Online-Ergänzung auf www.oebv.at wurde erstellt von: Mag. Dr. Christian Dorner Doz. Dr. Franz Embacher Prof. Mag. Dr. Bernhard Salzger MMag. Dr. Andreas Ulovec www.oebv.at KOTH | SALZGER | ULOVEC | WOSCHITZ Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

Arbeiten mit Mathematik verstehen Aufbau Jedes Kapitel beginnt mit einer Aufzählung der Grundkompetenzen, die in diesem Kapitel erworben werden sollen. Im Buch wird zwischen Lehrplan L und schriftlicher Reifeprüfung R unterschieden. Die pinke Linie am linken Seitenrand zeigt genau an, was für die schriftliche Reifeprüfung relevant ist. Jedes Kapitel beinhaltet eine Seite Technologie kompakt. Hier werden die wichtigsten Befehle für GeoGebra Suite und Casio Class Pad II aufgezeigt. Am Ende jedes Kapitels findet man einen Kompetenzcheck, in dem die geforderten Grundkompetenzen durch Aufgaben für Typ 1 und Typ 2 überprüft werden. Ebenfalls werden die kontextreduzierten Typ 2-Aufgaben extra ausgezeichnet. Bei jeder Aufgabennummer werden die zugehörigen Grundkompetenzen jeweils links davon angeführt. Am Ende des Buches gibt es einen Jahrescheck mit Aufgaben vom Typ 1 und Typ 2, die alle Grundkompetenzen noch einmal abprüfen. Symbole Dieses Symbol kennzeichnet Typ 2-Aufgaben mit einem reduziertem Kontext. Dieses Symbol kennzeichnet Aufgaben oder Stellen, an denen ein Technologieeinsatz möglich bzw. empfehlenswert ist. Dieses Symbol verweist auf die Technologie kompakt-Seiten, auf denen man kurze Anleitungen zum Technologieeinsatz von GeoGebra Suite bzw. Casio Class Pad II vorfindet. Dieses Symbol verweist auf das Zusatzheft Mathematik verstehen Technologietraining GeoGebra Digitales Zusatzmaterial QuickMedia App 1. Scanne den QR-Code (unten) und lade die App auf dein Smartphone oder dein Tablet. 2. Scanne deinen Buchumschlag oder wähle dein Schulbuch in der App-Medienliste aus. 3. Scanne eine mit gekennzeichnete Buchseite oder wähle ein Audio/Video aus der App-Medienliste aus. 4. Spiele das Audio/Video ab. Online Codes Hier gibt es eine Online-Ergänzung. Der Code führt direkt zu den Inhalten. Im Digitalen Zusatzmaterial befinden sich Applets, Lernapplets, Arbeitsblätter, Lesetexte, Fragen zum Grundwissen und TI-Nspire kompakt. www.oebv.at Suchbegriff / ISBN / SBNr. / Online-Code Suchen REDUZIERTER KONTEXT kompakt S. xxx S. xxx Android iOS Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

3 INHALTSVERZEICHNIS 1. und 2. Semester MEINE KENNTNISSE 6 GRUNDLEGENDE BEGRIFFE UND FERTIGKEITEN 10 1.1 Aufstellen und Interpretieren von Termen und Formeln 10 1.2 Relative Anteile 13 1.3 Aussagen 19 1.4 Mengen 21 1.5 Umformen von Termen und Gleichungen 24 1.6 Lineare Gleichungen in einer Variablen 31 TECHNOLOGIE KOMPAKT 33 KOMPETENZCHECK (Aufgaben vom Typ 1 und Typ 2) 34 ZAHLEN UND ZAHLENMENGEN 38 2.1 Zahlenbereiche und Zahlenmenge 38 2.2 Beträge und Intervalle 44 2.3 Näherungsweise Angaben von Zahlen 46 2.4 Zehnerpotenzen und Gleitkommadarstellung 49 2.5 Dekadische und nichtdekadische Zahlendarstellung 53 2.6 Teilbarkeit und Primzahlen 54 TECHNOLOGIE KOMPAKT 55 KOMPETENZCHECK (Aufgaben vom Typ 1 und Typ 2) 56 QUADRATISCHE GLEICHUNGEN 60 3.1 Sonderfälle quadratischer Gleichungen 60 3.2 Lösungsformeln für quadratische Gleichungen 62 3.3 Quadratische Gleichungen mit Parametern 68 3.4 Satz von Vieta 69 TECHNOLOGIE KOMPAKT 71 KOMPETENZCHECK (Aufgaben vom Typ 1 und Typ 2) 72 BERECHNUNGEN IN RECHTWINKELIGEN DREIECKEN 74 4.1 Sinus, Cosinus und Tangens 74 4.2 Anwendungen von Sinus, Cosinus und Tangens 78 4.3 Beziehungen zwischen Sinus, Cosinus und Tangens 87 TECHNOLOGIE KOMPAKT 88 KOMPETENZCHECK (Aufgaben vom Typ 1 und Typ 2) 89 1 2 3 4 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

4 BERECHNUNGEN IN BELIEBIGEN DREIECKEN 92 5.1 Kartesische Koordinaten und Polarkoordinaten 92 5.2 Sinus und Cosinus im Einheitskreis 97 5.3 Die trigonometrische Flächeninhaltsformel 101 5.4 Sinussatz und Cosinussatz 102 TECHNOLOGIE KOMPAKT 107 KOMPETENZCHECK (Aufgaben vom Typ 1 und Typ 2) 108 REELLE FUNKTIONEN 110 6.1 Reelle Funktionen und deren Graphen 110 6.2 Interpretieren von Funktionsgraphen 118 TECHNOLOGIE KOMPAKT 126 KOMPETENZCHECK (Aufgaben vom Typ 1 und Typ 2) 127 LINEARE FUNKTIONEN 130 7.1 Lineare Funktionen und deren Graphen 130 7.2 Eigenschaften linearer Funktionen 134 7.3 Anwendungen linearer Funktionen; Interpretationen von k und d 138 7.4 Direkte Proportionalitätsfunktionen 144 7.5 Vergleich von linearen Funktionen 147 TECHNOLOGIE KOMPAKT 153 KOMPETENZCHECK (Aufgaben vom Typ 1 und Typ 2) 154 NICHTLINEARE FUNKTIONEN 160 8.1 Quadratische Funktionen 160 8.2 Indirekte Proportionalitätsfunktionen 171 8.3 Proportionalitäten höherer Ordnung 174 8.4 Abschnittsweise definierte Funktionen 178 8.5 Formeln und Funktionen 180 TECHNOLOGIE KOMPAKT 183 KOMPETENZCHECK (Aufgaben vom Typ 1 und Typ 2) 184 LINEARE GLEICHUNGEN UND GLEICHUNGSSYSTEME IN ZWEI VARIABLEN 190 9.1 Lineare Gleichungen in zwei Variablen 190 9.2 Lineare Gleichungssysteme in zwei Variablen 194 TECHNOLOGIE KOMPAKT 200 KOMPETENZCHECK (Aufgaben vom Typ 1 und Typ 2) 201 5 6 7 8 9 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

5 VEKTOREN 204 10.1 Vektoren in ℝ 2 204 10.2 Rechnen mit Vektoren 206 10.3 Skalarprodukt von Vektoren 210 TECHNOLOGIE KOMPAKT 213 KOMPETENZCHECK (Aufgaben vom Typ 1 und Typ 2) 214 GEOMETRISCHE DARSTELLUNG VON VEKTOREN UND DEREN RECHENOPERATIONEN 218 11.1 Darstellung von Vektoren in ℝ 2 als Punkte oder Pfeile in der Ebene 218 11.2 Geometrische Darstellung der Addition und Subtraktion von Vektoren 222 11.3 Darstellung der Multiplikation eines Vektors mit einer reellen Zahl 227 11.4 Einfache Anwendungen der Vektorrechnung in der Geometrie 228 11.5 Betrag eines Vektors 231 11.6 Parallele und normale Vektoren 233 TECHNOLOGIE KOMPAKT 236 KOMPETENZCHECK (Aufgaben vom Typ 1 und Typ 2) 237 GERADEN IN ℝ 2 242 12.1 Parameterdarstellung einer Geraden in ℝ 2 242 12.2 Gegenseitige Lage und Schnitt von Geraden in ℝ 2 248 12.3 Normalvektordarstellung einer Geraden in ℝ 2; Lösungsfälle für lineare Gleichungssysteme 251 TECHNOLOGIE KOMPAKT 257 KOMPETENZCHECK (Aufgaben vom Typ 1 und Typ 2) 258 WEITERE ANWENDUNGEN VON VEKTOREN IN ℝ 2 262 13.1 Winkelmaß von Vektoren; Vorzeichen des Skalarprodukts 262 13.2 Einheitsvektoren; Abstand Punkt-Gerade; Merkwürdige Punkte 265 TECHNOLOGIE KOMPAKT 271 KOMPETENZCHECK (Aufgaben vom Typ 1 und Typ 2) 272 JAHRESCHECK (Aufgaben vom Typ 1) 274 JAHRESCHECK (Aufgaben vom Typ 2) 280 Anhang: Beweise 285 Stichwortverzeichnis 286 10 11 12 13 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

6 MEINE KENNTNISSE ZAHLEN UND MAßE 1 Berechne ohne Technologie! a) (+4) + (‒5) – (+3) – (‒8) d) (‒ 2) · (‒ 4) + (+ 3) · (‒ 9) g) (+20) : (‒5) – (+15) : (‒3) b) (‒6) – (‒3) + (+10) + (‒1) e) (+ 1) + (‒ 15) · (+ 4) – (‒ 6) h) (‒8) + (‒28) : (+4) – (‒2) c) (+9) + (+2) – (‒8) – (+12) f) (+ 7) – (‒ 11) – (+ 4) · (‒ 3) i) (+6) + (‒1) – (+72) : (‒9) 2 Berechne ohne Technologie! a) (‒ 4) · (‒ 0,6) + (‒ 8) · (‒ 0,2) d) (‒ 1,5) : (‒ 3) – (+ 6,4) : (‒ 1,6) b) (+ 0,5) – (‒ 6) · (‒ 1,1) – (‒ 1,3) e) (‒ 3,7) – (‒ 2,5) : (‒ 0,5) + (‒ 1) c) (‒ 9,3) + (‒ 1,8) – (+ 7) · (‒ 2,1) f) (+ 2,4) + (‒10) – (‒ 8,8) : (‒ 0,1) 3 Berechne ohne Technologie! a) 4 _ 5 – 3 _ 10 · 1 _ 2 d) ( 3 _ 5 – 2 _ 15 ) : 1 _ 2 g) (4 : 1 _ 2 ) · ( 3 _ 8 – 1 _ 4 · 8) b) 2 _ 3 · 2 1 _ 4 + 3 _ 8 : 1 _ 2 e) 1 _ 6 · (1 1 _ 3 + 8 _ 15 ) h) (1 : 1 _ 2 + 1 : 1 _ 3 ) : (– 1 _ 5 ) c) 2 _ 7 : 4 _ 21 – 1 2 _ 5 · 3 _ 2 f) (1 1 _ 4 – 7 _ 8 ) : ( 1 _ 8 – 1 _ 2 ) i) ( 4 _ 5 – 1 _ 10 ) : 1 _ 2 · (1 2 _ 7 – 2) 4 Berechne ohne Technologie! a) 2 · � __ 25 d) � __ 81 · 3 � __ 27  g) 3 � ___ 12  3 – 3 � __ 7  3 b) 3 � __ 8 _ 2 e) � __ 98 _ � __ 2 h) � ___ 108 _ � __ 3 + � __ 50 _ � __ 2 c) � __ 18 · � __ 2 f) � ___ 13  2 + � __ 5  2 i) � _____ 5  2 + 2 · � __ 3 5 Berechne ohne Technologie! a) 10% von 350 d) 90% von 500 g) 150% von 600 b) 25% von 800 e) 20 % von 750 h) 120% von 200 c) 75% von 440 f) 30% von 900 i) 200% von 840 6 Forme in die angegebene Einheit um! a) 1,2 m = cm d) 710 cm2 = m2 g) 2,4 min = s b) 4 300 ® = h® e) 3 ha = a h) 8h 6min = h c) 98 dag = g f) 6,1 m3 = dm3 i) 12,6 h = min AUFGABEN Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

7 VARIABLEN, FUNKTIONALE ABHÄNGIGKEITEN 7 Vereinfache den Term so weit wie möglich! a) x–3x+7x–5x d) 5x + 2 – (‒4x –1) + (–7x) g) (y + 2)2 – (y + 2) b) 3a+8b–4a–3b e) 4 s · (–s + 6) – (– 2 s) · (s – 1) h) (2 u – 1)2 + (u + 2) c) 4c2 –6d+3c–d+9c2 f) n 2 –20–(2n–1)·(3n+4) i) (4p+2)·(4p–2)+(4p+2) 8 Stelle den Term als Summe bzw. Differenz dar! a) 3·(5r+3s–7r+9s) d) (3 b + 7) · (5 b + 1) g) (4 x + 5)2 b) (a2 +2b+b2) · ab e) (6n – 9)·(2n – 3) h) (8 f – 2)2 c) 2 d2 k · (3 d k + d2 –4k–k2) f) (h+5)·(3h–6) i) (5g+3)·(5g–3) 9 Stelle den Term als Produkt dar! Hebe einen Faktor heraus oder verwende eine binomische Formel! a) 5 t – 10 u d) 16 x3 + 8 y2 – 4 z g) 9 r2 +12r+4 b) 3z+4z–7z e) 25 w2 – 16 h) 49 c2 –70c+25 c) 4 x3 – 3 x2 + 5 x f) 49 a2 – 36 b2 i) 4 p2 –24pq+36q2 10 Löse die Gleichung und mache die Probe! a) 3x+2=23 d) 7,6 x – 4,2 = ‒ 0,4 g) 1 _ x + 1 = 5 b) 8y–6=82 e) y _ 4 +1=y+0,55 h) 2 _ x + 3 _ x – 1 = 5 _ x + 3 _ 20 x c) 5z+12=‒4z–6 f) (z–1)(z+3)=z2 – 5 i) 3 _ x – 2 = 4 x – 5 __ (x – 1) · (x – 2) 11 Löse das lineare Gleichungssystem! a) { 2x+3y=8 4 x – 7 y = – 10 b) { x – 4 y = 7 x+5y= – 2 c) { – 2 x + y = – 7,5 y = 4 – 7 x _ 8 12 Gegeben ist eine Termdarstellung der Funktion f. Ermittle den Funktionswert an der gesuchten Stelle! a) f(x) = 4x; f(5) = d) f (x) = 2,5 x + 3; f (0,5) = g) f (x) = x _ 2 + 7; f (10) = b) f (x) = x2; f(3) = e) f(x) = ‒x – 6; f(‒11) = h) f (x) = x 2 _ 4 – 1; f (100) = c) f(x) = –7x + 4; f(‒1) = f) f (x) = ‒ 2 x2; f(1) = i) f (x) = ‒16; f (5,7) = 13 Gegeben ist der Graph einer linearen Funktion f mit f (x) = k · x + d. Ermittle k und d! a) x f(x) 2 4 6 4 f 2 –2 –2 O b) x f(x) 2 4 6 4 f 2 –2 –2 O c) x f(x) 2 4 6 4 f 2 –2 –2 O AUFGABEN Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

8 MEINE KENNTNISSE GEOMETRISCHE FIGUREN UND KÖRPER 14 Zeichne das Rechteck mit den Seitenlängen a und b! Berechne Umfang u und Flächeninhalt A! a) a = 5cm,b = 3cm b) a = 62mm,b = 4,1cm c) a = 4,5cm,b = 4,5cm 15 Zeichne das rechtwinkelige Dreieck mit den Kathetenlängen a und b! Berechne Umfang u und Flächeninhalt A! a) a=45mm,b=6cm b) a = 4 cm, b = 75 mm c) a=9cm,b=48mm 16 Gib Formeln für den Umfang u und den Flächeninhalt A der färbigen Figur an! a) b) c) d) d b a c d c a b b c a c r r HINWEIS zu b): Verwende die Flächeninhaltsformel für ein Trapez! 17 Konstruiere das Parallelogramm ABCD und berechne dessen Flächeninhalt mit den Koordinaten der gegebenen Eckpunkte! a) A = (– 3 1 –2),B = (2 1 –2),C = (3 1 1) c) A = (– 2 1 –4),C = (0 1 3),D = (–3 1 3) b) B = (3 1 –1), C = (6 1 1), D = (–1 1 1) d) A = (– 1 1 –1), B = (6 1 –1), D = (–4 1 5) 18 Berechne das Volumen V und den Oberflächeninhalt O des Körpers! a) Quader mit den Kantenlängen a = 3,7cm, b = 2,8 cm, h = 7,9 cm b) Drehzylinder mit dem Radius r = 8,3 cm und der Höhe h = 14,4 cm 19 Berechne die Höhe h des Quaders mit den Grundkantenlängen a und b! a) Volumen V = 270cm3,a=5cm,b=6cm b) Oberflächeninhalt O = 62 m2,a=3m,b=2m 20 Stelle eine Formel für das Volumen V einer quadratischen Pyramide mit der Grundkantenlänge a und der Höhe h auf! 1) Wie lautet das Volumen V*, wenn die Grundkantenlänge a verdoppelt wird? 2) Welcher Zusammenhang besteht zwischen V und V*? 21 Berechne das Volumen V des Körpers! a) b) c) 15m 2m 8m 13m 6m 3dm 3dm 8m 4m 6m AUFGABEN Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

9 STATISTISCHE DARSTELLUNGEN UND KENNGRÖßEN 22 Berechne das arithmetische Mittel ‾ xder Datenliste! a) 2; 2; 3; 6; 7; 7; 9; 11; 12; 15 c) –5; –7; 2; 0; 3; –1; –5; 2 e) 1 _ 3 ; 1 _ 4 ; 2 _ 5 ; 3 _ 4 ; 1 _ 2 ; 1 _ 4 ; 4 _ 5 b) 54; 24; 72; 80; 41; 26; 35; 28 d) 0,6; 2,7; 1,5; 0,9; 2,3; 5,1; 3,3 f) 4; 4; 4; 4; 4; 24; 4; 4; 4; 4 23 Ermittle das Minimum, das Maximum, den Median und die Spannweite der Datenliste! a) 5; 8; 2; 4; 2; 6; 8; 10; 3; 5; 7 c) –12; –1; 8; 0; –5; –5; –4; 3 e) 2 _ 5 ; – 1 _ 2 ; 1 1 _ 4 ; – 1 _ 4 ; 3 1 _ 8 ; 7 _ 10 b) 47; 39; 17; 12; 164; 45 d) 63,2; 84,3; 74,4; 57; 82,1; 61,7 f) 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2 24 Die nachstehende Abbildung informiert über die PKW-Neuzulassungen 2016 bis 2020 in Österreich. (Quelle: Statistik Austria) 1) Berechne, um wie viel Prozent sich der Anteil der Neuzulassungen bei Benzin-, Diesel- und Alternativantrieben von 2019 auf 2020 verändert hat! 2) Berechne den Anteil der Benzin-, Diesel- und Alternativantriebe an allen PKW-Neuzulassungen im Jahr 2020! 20 000 0 Benzin (inkl. Flex-Fuel) Diesel 2016 2017 2018 2019 2020 131 756 163 701 184 150 176 706 107771 188 820 175 458 140 111 126 311 90 909 9 028 14 161 16 807 26 346 50 060 Alternativ 40 000 60 000 80 000 100 000 120 000 140 000 160 000 180 000 200 000 25 Ein Würfel wird 160-mal geworfen. Gib die relative Häufigkeit eines gewürfelten Sechsers in Bruchdarstellung und in Prozentdarstellung an, wenn die absolute Häufigkeit a) 20 Sechser, b) 32 Sechser, c) 30 Sechser, d) 12 Sechser, e) 48 Sechser ist! 26 Um eine Krankheit zu entdecken, wird ein Labortest durchgeführt, der jedoch nicht absolut zuverlässig ist. Die nebenstehende Mehrfeldertafel informiert über die absoluten Zahlen der untersuchten Personen. 1) V ervollständige die Mehrfeldertafel! positiver Test negativer Test Summe erkrankt nicht erkrankt 1 932 1 971 Summe 64 2 000 2) Berechne den relativen Anteil der nicht erkrankten Personen an allen Personen mit positivem Testergebnis in Bruch- und in Prozentdarstellung! 27 Entnimm dem nachstehenden Boxplot Minimum, Maximum, 1. Quartil, 2. Quartil (Median) und 3. Quartil der zugrundeliegenden Datenliste! 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 52 54 56 58 60 62 AUFGABEN Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

10 GRUNDLEGENDE BEGRIFFE UND FERTIGKEITEN GRUNDKOMPETENZEN Wissen über algebraische Begriffe angemessen einsetzen können: Variable, Terme, Formeln (Un-)Gleichungen, […]; Äquivalenz, Umformungen, Lösbarkeit Mit Aussagen und Mengen umgehen können. Einfache Terme und Formeln aufstellen, umformen und im Kontext deuten können. Lineare Gleichungen aufstellen, interpretieren, umformen/lösen und die Lösung im Kontext deuten können. AG-R 1.2 AG-L 1.3 AG-R 2.1 AG-R 2.2 1.1 Aufstellen und Interpretieren von Termen und Formeln Variablen, Terme, Gleichungen und Formeln 1.01 Bei einer Spendenaktion spendet jeder Erwachsene p € und jedes Kind q €. An der Aktion nehmen x Erwachsene und y Kinder teil. 1) Stelle eine Formel für den Gesamtbetrag G der eingelangten Spenden auf! 2) Es beteiligen sich m Erwachsene und n Kinder mehr an der Spendenaktion. Stelle eine Formel für den neuen Gesamtbetrag G’ auf! 3) Jeder Erwachsene und jedes Kind spendet doppelt so viel wie ursprünglich vorgesehen, dafür beteiligen sich aber nur halb so viele Erwachsene und halb so viele Kinder an der Spendenaktion. Stelle eine Formel für den neuen Gesamtbetrag G” auf! Wird dadurch insgesamt mehr, weniger oder gleich viel gespendet? 4) Berechne G, wenn 200 Erwachsene jeweils 10€ und 80 Kinder jeweils 5 € spenden! LÖSUNG 1) G = x · p + y · q 2) G’ = (x + m) · p + (y + n) · q 3) G” = x _ 2 ·2p+ y _ 2 · 2 q = x · p + y · q. Es wird gleich viel gespendet. 4) G = x · p + y · q = 200 · 10 + 80 · 5 (€) = 2 400 (€) Variable Eine Variable kann auf zwei Arten aufgefasst werden: als nicht näher bestimmte Zahl oder als Leerstelle, in die eine Zahl eingesetzt werden kann. Diese Einsetzung bezeichnet man auch als Belegung der Variablen. BEISPIELE x, y, a, A, z1 sind Variablen. Setzt man für eine Variable eine Zahl ein, geht die Variable in eine Zahl über, die man als einen Wert der Variablen bezeichnet. BEISPIEL Setzt man für die Variable x die Zahl 5 ein, geht x in die Zahl 5 über. R 1 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

11 1.1 Aufstellen und Interpretieren von Termen und Formeln Term Ein Term ist ein aus Zahlzeichen, Variablen, Rechenzeichen oder Klammern korrekt gebauter mathematischer Ausdruck. Ein Term kann keine, eine oder mehrere Variablen enthalten. BEISPIELE 5, 4 – 7, � _ x,a+b,u _ v , x 2 + y _ 3 sind Terme. Setzt man für jede Variable in einem Term eine Zahl ein, geht der Term in eine Zahl über, die man als einen Wert des Terms bezeichnet. BEISPIEL S etzt man im Term x 2 + y für x die Zahl 3 und für y die Zahl 1 ein, geht der Term in die Zahl 10 über. Die Zahl 10 ist der Wert des Terms für x = 3 und y = 1. BEMERKUNG Für die Variablen in einem Term darf man nicht immer beliebige Zahlen einsetzen. Zum Beispiel darf im Term x _ y für x eine beliebige Zahl eingesetzt werden, für y aber nur eine von 0 verschiedene Zahl, weil die Division durch 0 nicht erlaubt ist. Gleichung Eine Gleichung erhält man, wenn man zwei Terme durch ein Gleichheitszeichen verbindet. Eine Gleichung kann keine, eine oder mehrere Variablen enthalten. BEISPIELE Die Ausdrücke 2 = 4 _ 2 , a = 3, m = a + b _ 2 , x + y 2 _ 3 = 5 z sind Gleichungen. Setzt man für jede in einer Gleichung vorkommende Variable eine Zahl ein, geht die Gleichung in eine (wahre oder falsche) Aussage über. BEISPIEL Setzt man in der Gleichung x + y 2 _ 3 = 5 z • x = 2, y = 3 und z = 1, geht die Formel in die wahre Aussage 5 = 5 über • x = 1, y = 3 und z = 2, geht die Formel in die falsche Aussage 4 = 10 über. Formel Eine allgemein gültige Gleichung bezeichnet man in der Mathematik als Formel. BEISPIEL Die Gleichung A = r 2 · π wird als Formel bezeichnet, weil diese die Berechnung des Flächeninhalts A eines Kreises mit dem Radius r angibt. BEMERKUNG Viele Formeln sind so gebaut, dass auf der linken Seite des Gleichheitszeichens ein einzelner Buchstabe steht. Das muss aber nicht immer so sein, wie man beispielsweise an der binomischen Formel (A + B) · (A – B) = A2 – B2 erkennt. 1.02 Bei einer Open-Air-Veranstaltung betragen die Eintrittspreise für Erwachsene p € und für Kinder q €. Die Veranstaltung wird von x Erwachsenen und y Kindern besucht. 1) Stelle eine Formel für die Gesamteinnahmen G auf! 2) Die ursprünglichen Eintrittspreise werden für Erwachsene um 1 € und für Kinder um 0,5 € erhöht. Stelle eine Formel für die neuen Gesamteinnahmen G’ auf! 3) Die ursprünglichen Eintrittspreise werden für Erwachsene um a € und für Kinder um b € erhöht. Stelle eine Formel für die neuen Gesamteinnahmen G” auf! 4) Die ursprünglichen Eintrittspreise werden für Erwachsene um a € und für Kinder um b € erhöht. Es kommen aber m Erwachsene und n Kinder weniger. Stelle eine Formel für die neuen Gesamteinnahmen G”’ auf! AUFGABEN R Ó Arbeitsblatt 9b98gh Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

12 1 GRUNDLEGENDE BEGRIFFE UND FERTIGKEITEN 1.03 Bei einer Vereinsveranstaltung nehmen x Mitglieder und y Nichtmitglieder teil. Der Eintritt kostet für Mitglieder p € und für Nichtmitglieder q €. 1) Stelle eine Formel für die Gesamteinnahmen G auf! 2) Es kommen m Mitglieder und n Nichtmitglieder weniger zu der Veranstaltung. Dabei ist m < x und n < y. Stelle eine Formel für die neuen Gesamteinnahmen G’ auf! 3) Die ursprünglichen Eintrittspreise werden halbiert, da doppelt so viele Mitglieder und Nichtmitglieder die Veranstaltung besuchen. Stelle eine Formel für die neuen Gesamteinnahmen G” auf! Sind die Gesamteinnahmen G” nun gleich wie bzw. höher oder niedriger als die ursprünglichen Gesamteinnahmen G? 4) Berechne G, wenn 70 Mitglieder je 3 € Eintritt zahlen und 20 Nichtmitglieder je 5 €! 1.04 Es kaufen n Personen je ein Fitnessgerät und p € und je ein Rezeptbuch um q €. 1) Stelle eine Formel für die Gesamteinnahmen G auf! 2) Berechne G für n = 350, p = 120 und q = 25! 1.05 Ein Autobus wird von n Personen um insgesamt a€ gemietet. Die Fahrtkosten werden gleichmäßig auf die n Personen aufgeteilt. 1) Stelle eine Formel für die Fahrtkosten K pro Person auf! 2) Stelle eine Formel für die Fahrtkosten K’ pro Person auf, wenn fünf Personen von der Fahrt zurücktreten! Um wie viel Euro muss jetzt jede Person mehr bezahlen? 1.06 Eine Gruppe von n Jugendlichen fährt mit einem Bus ins Theater. Der Bus kostet für die gesamte Gruppe b €, für den Theaterbesuch zahlt jeder a €. Was bedeutet der folgende Term? a) n · a b) b + n · a c) b _ n d) b _ n + a 1.07 Eine Heizölrechnung enthält die Liefermenge x in Liter, den Literpreis p in € und die Zustellgebühr g ebenfalls in €. Die Gesamtrechnung beträgt 2160 €. Interpretiere den folgenden Term! a) x · p b) 2 160 – g __ x c) g + x · p d) 2 160 – x · p 1.08 An einem Ausflug nehmen a Ehepaare mit drei Kindern, b Ehepaare mit zwei Kindern, c Ehepaare mit einem Kind und d Ehepaare ohne Kind teil. Für den Bus zahlt jeder Erwachsene e€, Kinder fahren gratis. Was bedeutet der folgende Term? a) a + b + c + d b) 3a+2b+c c) 5a+4b+3c+2d d) 2 · (a + b + c + d) · e 1.09 Adam kauft ein Auto um a Euro. Die Hälfte des Kaufpreises zahlt er bar, den Rest in n Monatsraten. Was bedeutet der folgende Term? a) a _ 2 n b) 6 a _ n 1.10 Was bedeutet der folgende Term für den nebenstehenden Zylinder mit dem Radius r und der Höhe h? a) r 2 π b) r 2 π h c) 2 r 2 π d) 2 r π h e) 2 r π 1.11 A 1 und A2 seien die Flächeninhalte von zwei Bauparzellen in Quadratmeter. Drücke folgende Gleichung in Worten aus! a) A 1 =3·A2 b) A 2 +4=A1 c) 1 _ 2 · A 1 – 3 = A 2 d) A 1 _ 5 = A 2 h r Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

13 1.2 Relative Anteile 1.2 Relative Anteile Prozentdarstellung von relativen Anteilen Grundkenntnisse zur Lösung von Prozentaufgaben: • 1 % = 1 _ 100 = 0,01 • x % von y = x _ 100 vony= x _ 100 · y Unterscheide absolute und relative Anteile! BEISPIEL Von 15 000 Bewohnern einer Stadt sind 2100 Kinder. absoluter Anteil der Kinder an allen Bewohnern = 2100 relativer Anteil der Kinder an allen Bewohnern = 2 100 _ 15 000 = 14 _ 100 = 0,14 = 14 % Die folgenden Aufgaben beruhen stets auf einer Beziehung der Form: x % von y sind z Von den Zahlen x, y, z sind zwei gegeben und die dritte ist gesucht. Abhängig von den gegebenen Zahlen ergeben sich drei Aufgabentypen, die im Folgenden behandelt werden. 1.12 In einem Hochhaus leben 250 Personen. 92 % davon lesen regelmäßig Zeitung. Wie viele Personen sind das? LÖSUNG x% von y sind z 92% von 250 = z 92 _ 100 · 250 = z z = 230 (Personen) 1.13 500 g jodiertes Kochsalz enthalten 190 g Natrium. Wie viel Prozent sind das? LÖSUNG x% von y sind z x % von 500 = 190 x _ 100 · 500 = 190 x = 38 (%) ALTERNATIVE LÖSUNG relativer Anteil des Natriums am Kochsalz = = 190 _ 500 = 0,38 = 38 % 1.14 Bei einer Lebensmitteluntersuchung wurde festgestellt, dass 25 Proben, das sind 6,25 % der untersuchten Proben, verdorben waren. Wie viele Proben wurden untersucht? LÖSUNG x% von y sind z 6,25% von y = 25 6,25 _ 100 · y = 25 y = 400 (Proben) 1.15 Laut „Gender Index“ des Bundeskanzleramts waren im Jahr 2020 von den 8901 064 Einwohnern Österreichs 4 522 292 Frauen. Wie groß war der absolute bzw. relative Anteil der Frauen an allen Einwohnern Österreichs in diesem Jahr? 1.16 Gib die Prozentangaben 75 %, 10 %, 25 %, 20 %, 12,5 % in Bruchdarstellung an! R AUFGABEN R Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

14 1 GRUNDLEGENDE BEGRIFFE UND FERTIGKEITEN 1.17 a) Auf einer 200 g-Packung Brotaufstrich steht: 45 % Fettgehalt. Wie viel Gramm Fett enthält die Packung? b) Auf dem Beipackzettel eines Medikaments steht: Eine 30 mg-Tablette enthält 3,3 mg Wirkstoff. Wie viel Prozent der Masse einer Tablette macht die Masse des Wirkstoffs aus? c) Eine Geldscheinkontrolle ergab, dass 30 Geldscheine gefälscht waren. Das waren immerhin 2,5 % aller untersuchten Geldscheine. Wie viele Geldscheine wurden untersucht? 1.18 Eine Umfrage unter den Schülerinnen und Schülern einer Schule hat ergeben, dass 75% einen PC besitzen. Kreuze die beiden zutreffenden Aussagen an! Jeder Dritte der Befragten besitzt einen PC.  Jeder Vierte der Befragten besitzt einen PC.  Drei von vier Befragten besitzen einen PC.  Wäre der relative Anteil derer, die einen PC besitzen, gleich 80 %, so könnte man sagen, dass vier von fünf Befragten einen PC besitzen.  Die Anzahl derjenigen, die einen PC besitzen, verhält sich zur Anzahl derjenigen, die keinen PC besitzen, wie 3 : 4.  1.19 Kuhmilch enthält 3,6 % Fett. In wie viel Kilogramm Milch sind 4,5 kg Fett enthalten? 1.20 In einem Betrieb gehen durch Rationalisierungsmaßnahmen 180 Arbeitsplätze verloren, das sind 24 % aller Arbeitsplätze. Wie viele Arbeitsplätze bleiben erhalten? 1.21 Bei einem Bauernhof mit 45 ha Nutzfläche sind 4 _ 5 Ackerfläche, 3 _ 20 Wald und der Rest ist Wiese. 1) W ie viel Prozent der Nutzfläche entfallen auf die einzelnen Teilflächen? 2) In diesem Jahr wird auf 42 % der Ackerfläche Weizen angebaut, auf 35 % Raps, auf 15 % Mais und auf dem Rest Erdäpfel. Wie viel Hektar messen die einzelnen Flächen? 3) Von der Waldfläche entfallen 80 % auf Nadelwald und davon 60 % auf Fichten. Wie viel Hektar misst der Fichtenbestand? Wie viel Prozent der gesamten Waldfläche macht er aus? 1.22 Bei der Tombola eines Dorffestes bringen 36 % aller Lose Gewinne, 10 % einen Trostpreis und der Rest sind Nieten. Es gibt 270 Gewinne. Wie viele Lose bringen Trostpreise und wie viele Nieten gibt es in der Tombola? 1.23 Ein Paket wiegt 17,5 kg, davon entfallen 2,1 kg auf die Verpackung. Wie viel Prozent der Gesamtmasse macht die Verpackung aus? 1.24 Von der Masse einer Kopfschmerztablette entfallen nur 5 % auf den Wirkstoff selbst. Bei Einnahme einer Tablette gelangen wiederum nur 10 % der enthaltenen Wirkstoffmenge ins Blut. Wie viel Prozent der Masse einer eingenommenen Tablette gelangen tatsächlich ins Blut? 1.25 Bei der letzten Englisch-Schularbeit der Klasse 5 A entfielen 35 % der maximal erreichbaren Punkte auf den Teilbereich Writing. Livia konnte die Aufgabenstellungen des Teilbereichs Writing zu 80 % korrekt erledigen. Wie viel Prozent aller Punkte, die Livia erreichte, stammten aus dem Teilbereich Writing? Ó Arbeitsblatt 9bk7wv Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

15 1.2 Relative Anteile Arbeiten mit absoluten und relativen Anteilen R 1.26 a) Von b Laubbäumen sind 20 % geschädigt, von n Nadel- bäumen sind 35 % geschädigt. Wie viele Bäume sind insgesamt geschädigt? b) Von b Laubbäumen sind r % geschädigt, von n Nadelbäumen sind s % geschädigt. Wie viele Bäume sind insgesamt geschädigt? LÖSUNG a) 20%vonb+35%vonn= 20 _ 100 ·b+ 35 _ 100 ·n=0,20·b+0,35·n b) r%vonb+s%vonn= r _ 100 ·b+ s _ 100 · n 1.27 a) In einer Schulklasse sind 8 Knaben und 24 Mädchen. Wie groß ist der relative Anteil der Mädchen in dieser Klasse? Gib diesen auch in Prozent an! b) In einer Schulklasse sind m Mädchen und k Knaben. Wie groß ist der relative Anteil der Knaben in dieser Klasse? LÖSUNG a) relativer Anteil der Mädchen = Anzahl der Mädchen _____ Anzahl aller Klassenmitglieder = 24 _ 32 = 0,75 = 75% b) relativer Anteil der Knaben = Anzahl der Knaben _____ Anzahl aller Klassenmitglieder = k _ k + m 1.28 Eine Maschine produziert a Werkstücke, von denen 1 % fehlerhaft sind. Eine zweite Maschine produziert b Werkstücke, von denen 0,5 % fehlerhaft sind. 1) Wie viele fehlerhafte Werkstücke werden insgesamt produziert? 2) Wie groß ist der relative Anteil der fehlerhaften Werkstücke an allen produzierten Werkstücken? LÖSUNG 1) 0,01 · a + 0,005 · b 2) 0,01 · a + 0,005 · b ___ a + b 1.29 In einer Stadt leben m Männer und f Frauen. Von diesen sind a Männer und b Frauen erwerbstätig. Ordne jedem relativen Anteil der linken Tabelle den entsprechenden Term aus der rechten Tabelle zu! relativer Anteil der Erwerbstätigen an allen Einwohnern A f _ m + f relativer Anteil der erwerbstätigen Frauen an allen Erwerbstätigen B b _ m + f relativer Anteil der Frauen an allen Einwohnern C b _ a + b relativer Anteil der erwerbstätigen Männer an allen Einwohnern D a + b _ m + f E a _ m + f F a _ a + b 1.30 Eine Firma erzeugt n Größen von Schrauben in den Stückzahlen x 1, x 2, …, xn. Bezogen auf die einzelnen Schraubengrößen sind von den erzeugten Schrauben p 1 %, p 2 %, …, pn % der Produktion schadhaft. Wie viele schadhafte Schrauben fallen bei der Produktion insgesamt an? AUFGABEN R Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

16 1 GRUNDLEGENDE BEGRIFFE UND FERTIGKEITEN 1.31 a) In einer Studie wurde ein Heilmittel an 850 Frauen und 600 Männern getestet. Das Mittel hat bei 68 % der Frauen und 61 % der Männer gewirkt. Bei wie vielen Personen hat es gewirkt? b) Ein Heilmittel wurde an x Frauen und y Männern getestet. Es hat bei a % der Frauen und b % der Männer gewirkt. Wie groß ist der relative Anteil der Personen, bei denen das Mittel gewirkt hat? 1.32 Bei einer Sportveranstaltung kostet eine Eintrittskarte a €, erwachsene Vereinsmitglieder erhalten 10 % Ermäßigung und Kinder zahlen die Hälfte. Wie groß sind die Gesamteinnahmen G der Veranstalter, wenn die Sportveranstaltung von x Erwachsenen und y Kindern besucht wird, wobei a) kein erwachsener Besucher Vereinsmitglied ist, b) 25 % der erwachsenen Besucher Vereinsmitglieder sind? 1.33 Bei einer zweitägigen Verkaufsausstellung wurden am ersten Tag x Geräte und am zweiten Tag y Geräte verkauft. Am Ende blieben z Geräte unverkauft. Wie groß ist der relative Anteil 1) der am ersten Tag verkauften Geräte, 3) der insgesamt verkauften Geräte, 2) der am zweiten Tag verkauften Geräte, 4) der unverkauften Geräte? 1.34 Ein Vater vererbt seinen drei Töchtern ein Vermögen von v€. Anna bekommt a €, Berta b € und Christa c €. Welche relativen Anteile am Vermögen erhalten die einzelnen Töchter? Drücke diese relativen Anteile auch in Prozent aus! 1.35 Für ein gemeinsames Geschäft investiert Herr Huber x € und Frau Meier y €. 1) Welchen relativen Anteil an der Gesamtinvestition hat Herr Huber bzw. Frau Meier geleistet? 2) Der Gewinn G wird entsprechend diesen relativen Anteilen aufgeteilt. Welchen Geldbetrag erhält Herr Huber, welchen Frau Meier? 1.36 Im Jahr 2021 gab es a Verkehrsunfälle, davon x % mit Personenschaden. Im Jahr 2022 gab es b Verkehrsunfälle, davon y % mit Personenschaden. 1) Wie groß war die Gesamtzahl der Verkehrsunfälle mit Personenschaden im Zeitraum von 2021 bis 2022? 2) Wie groß war der relative Anteil der Verkehrsunfälle mit Personenschaden an allen Verkehrsunfällen im Zeitraum von 2021 bis 2022? Wie viel Prozent sind das? 1.37 In einer Schulklasse sind a Jugendliche. Davon sind p % männlich. 1) Wie viel Prozent der Jugendlichen sind weiblich? 2) Wie viele männliche bzw. weibliche Jugendliche sind in der Klasse? 1.38 Bei einer Kontrolle wird festgestellt, dass von x untersuchten Batterien 3 % beschädigt sind. a) Es sei b die Anzahl der beschädigten Batterien. Drücke b durch x aus! b) Es sei u die Anzahl der unbeschädigten Batterien. Drücke u durch x aus! 1.39 Der Wert einer Aktie ist in einem bestimmten Zeitraum um 0,1 % gefallen und beträgt jetzt statt u € nur mehr v €. Kreuze die beiden Gleichungen an, die diese Veränderung richtig beschreiben! v = u – 0,1 · u  v = u – 0,01 · u  v = u – 0,001 · u  v = 0,99 · u  v = 0,999 · u  Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

17 1.2 Relative Anteile Vermehrung bzw. Verminderung um p % R 1.40 Ein Geldbetrag A wird um 2% a) vermehrt, b) vermindert. Gib den neuen Geldbetrag B an! LÖSUNG a) B=A+2%vonA=A+ 2 _ 100 ·A=A·(1 + 2 _ 100 ) = A · 1,02 = 1,02 · A b) B=A–2%vonA = A – 2 _ 100 ·A=A·(1 – 2 _ 100 ) = A · 0,98 = 0,98 · A Merke Vermehrung von A um p%: A · (1 + p _ 100 ) Verminderung von A um p%: A · (1 – p _ 100 ) 1.41 Die Partei XY freut sich: Sie konnte ihr Wahlergebnis von a) 16 % auf 20 %, b) 16 % auf 32% der abgegebenen Stimmen steigern. Um wie viel Prozent konnte sie das Ergebnis steigern? LÖSUNG Beachte den Unterschied zwischen „Prozentpunkten“ und „Prozent“! a) Die Partei hat 4 Prozentpunkte hinzugewonnen, aber das Ergebnis um 25% gesteigert, da 16 · 1,25 = 20. b) Die Partei hat 16 Prozentpunkte hinzugewonnen, aber das Ergebnis um 100 % gesteigert, da 16 · 2 = 32. 1.42 Ordne jeder Aussage der linken Tabelle den entsprechenden Term aus der rechten Tabelle zu! Eine Größe G wird um 15% erhöht. A G · 2,5 Eine Größe G wird um 2,5% vermehrt. B G · 1,025 Eine Größe G wird um 150 % vergrößert. C G · 1,015 Eine Größe G wird um 1,5 % erhöht. D G · 1,15 1.43 Ein Geldbetrag A hat sich in einer bestimmten Zeit zum Geldbetrag B verändert. Um wie viel Prozent ist der Geldbetrag A vergrößert bzw. vermindert worden? a) B = 1,23 · A b) B = 0,81 · A c) B = 1,09 · A d) B = 0,72 · A 1.44 Berechne jeweils den ursprünglichen Preis! a) Eine Digitalkamera wurde um 5 % teurer und kostete dann 439,95 €. b) Eine Jeanshose wurde um 16 % billiger und kostete dann 79,80 €. 1.45 Der Materialverbrauch bei der Herstellung einer Maschine konnte um 12 % auf 55 kg gesenkt werden. Gleichzeitig stiegen aber die Kosten von 45 € je Kilogramm Material um 12 %. Um wie viel Prozent haben sich die Materialkosten für eine Maschine insgesamt geändert? 1.46 Die Umsatzsteuer für Eintrittskarten im kulturellen Bereich wurde 2022 von 10 % auf 13 % erhöht. Gib die Erhöhung in Prozentpunkten und in Prozent an! 1.47 Eine Ware kostet p Euro. a) Jana behauptet: „Wird die Ware zuerst um 3 % und anschließend nochmals um 7% teurer, wird sie insgesamt um 10 % teurer.“ Stimmt das? Begründe! b) Eric behauptet: „Wird die Ware um 20 % ihres Preises teurer und anschließend um 20 % des neuen Preises billiger, kostet sie gleich viel wie am Anfang.“ Stimmt das? Begründe! AUFGABEN R Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

18 1 GRUNDLEGENDE BEGRIFFE UND FERTIGKEITEN Terme und Formeln zur Verzinsung R Wird ein Geldbetrag (ein Kapital) auf einem Konto jährlich mit p % p.a. (pro anno) verzinst, so heißt das, dass am Ende eines jeden Jahres p % des jeweils vorhandenen Kapitals als Zinsen zum vorhandenen Kapital addiert werden. In Österreich zahlt man allerdings eine Kapitalertragsteuer (KESt) von 25 %, dh. dass ein Viertel der erhaltenen Zinsen an den Staat abgegeben werden müssen. Die verbleibenden Zinsen nennt man die effektiven Zinsen, den dazugehörigen Zinssatz p eff % = 0,75 · p % nennt man den effektiven Zinssatz. BEACHTE Im Folgenden wird ein Ausdruck der Form p % als Zinssatz bezeichnet. Die Zahl p (ohne Prozentzeichen) wird manchmal Prozentfuß genannt. 1.48 Ein Kapital von K € wird jährlich mit einem effektiven Zinssatz a) von 1 %, b) von p eff % verzinst. Wie groß ist das Kapital nach 1, 2, 3, 4 bzw. n Jahren? LÖSUNG a) Wir bezeichnen das Kapital nach n Jahren mit K n. K 1 = 1,01 · K K 2 = 1,01 · K1 = 1,01 · 1,01 · K = 1,01 2 · K K 3 = 1,01 · K2 = 1,01 · 1,01 2 · K = 1,013 · K K 4 = 1,01 · K3 = 1,01 · 1,01 3 · K = 1,014 · K K n = 1,01 n · K b) K n = (1 + p eff _ 100 ) n · K 1.49 a) Ein Kapital von 10 000 € wird jährlich mit einem effektiven Zinssatz von 0,2 % verzinst. Wie groß ist das Kapital nach 20 Jahren? b) Ein Bankguthaben von 15 500 € ist in 10 Jahren auf 15 655,70 € angewachsen. Mit welchem effektiven Zinssatz wurde das Kapital verzinst? c) Ein Sparguthaben ist im Lauf von 10 Jahren bei einer effektiven jährlichen Verzinsung von 1 % auf 49708,00 € angewachsen. Wie groß war das ursprüngliche Sparguthaben? 1.50 Ein Anfangskapital K wird 3 Jahre lang mit einem effektiven Zinssatz von p eff % verzinst und wächst dadurch auf das Endkapital E an. Ermittle eine Formel zur Berechnung von: a) E aus K und p eff b) K aus E und p eff c) p eff aus K und E 1.51 Ein Kapital K wird 3 Jahre lang mit einem effektiven Zinssatz von 0,5 % und weitere 5 Jahre mit einem effektiven Zinssatz von 0,7% verzinst. Stelle eine Formel für das Endkapital E auf! 1.52 Ein Kapital von 2 000 € wird 5 Jahre lang mit einem effektiven Zinssatz von 1,5 % verzinst. Um wie viel Prozent erhöht sich dabei das ursprüngliche Kapital? 1.53 Ein Guthaben beträgt zu Jahresbeginn x €, wird mit einem effektiven Zinssatz von u % verzinst und beträgt am Jahresende y €. Kreuze die beiden zutreffenden Gleichungen an! x + u = y  y=x+u%  x · (1 + u _ 100 ) = y  u%vonx=y  u = ( y _ x – 1) · 100  Ó Applet 7k75eb AUFGABEN R Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

19 1.3 Aussagen 1.3 Aussagen Aussagen in der Mathematik 1.54 Gib an, ob die Aussage a) 5 < 3, b) ‒ 5 < ‒ 3 wahr oder falsch ist! Begründe! LÖSUNG a) Die Aussage 5 < 3 ist falsch, da 5 auf der Zahlengeraden nicht links von 3 liegt. b) Die Aussage ‒ 5 < ‒ 3 ist wahr, da ‒ 5 auf der Zahlengeraden links von ‒ 3 liegt. Eine mathematische Aussage ist stets entweder wahr oder falsch. Zu jeder Aussage kann man durch Verneinung (Negation) eine neue Aussage bilden. Die Verneinung einer Aussage A kennzeichnet man mit ¬ A [Lies: nicht A oder non A]. Definition Ist A eine wahre Aussage, so ist ¬ A eine falsche Aussage. Ist A eine falsche Aussage, so ist ¬ A eine wahre Aussage. BEISPIELE • Aussage A: „Jede gerade Zahl ist durch 2 teilbar.“ A ist wahr, ¬ A ist falsch. • Aussage B: „Jede gerade Zahl ist durch 4 teilbar.“ B ist falsch, ¬ B ist wahr. Zwei Aussagen A und B können auch zu einer neuen Aussage verknüpft werden: A ? B [Lies: A und B] A = B [Lies: A oder B] Definition A ? B ist genau dann wahr, wenn sowohl A als auch B wahr ist. A = B ist genau dann wahr, wenn mindestens eine der beiden Aussagen A bzw. B wahr ist. Das „Oder“ in der Mathematik wird stets im nichtausschließenden Sinn verwendet, dh. es können auch beide Aussagen wahr sein. Die Verneinung von A ? B lautet ¬ A = ¬ B. Die Verneinung von A = B lautet ¬ A ? ¬ B. BEISPIELE • A: x ist größer als 2. B: x ist kleiner als 5. A ? B: x ist größer als 2 und kleiner als 5. • A: x ist kleiner als 2. B: x ist größer als 5. A = B: x ist kleiner als 2 oder größer als 5. Zwei Aussagen A und B können sich aufeinander beziehen: A w B [Lies: Wenn A, dann B. Oder: Aus A folgt B.] A É B [Lies: A genau dann, wenn B. Oder: A äquivalent B.] Definition A w B bedeutet: W enn A wahr ist, dann ist auch B wahr. Wenn A falsch ist, dann kann B wahr oder falsch sein. A É B bedeutet: Es gilt sowohl A w B als auch B w A. BEISPIELE Für eine ganze Zahl x gilt: x = 1 w x 2 = 1 x2 = 1 É (x = 1) = (x = –1) BEACHTE Wenn A w B gilt, dann muss die Umkehrung B w A nicht gelten. Es folgt aus x = 1 zwar x2 = 1, umgekehrt folgt aber aus x2 = 1 nicht unbedingt x = 1, denn es könnte ja auch x = –1 gelten. Bei A É B gilt stets auch die Umkehrung. L Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

20 1 GRUNDLEGENDE BEGRIFFE UND FERTIGKEITEN 1.55 Gib an, ob die Aussage a) 2 < ‒7, b) 7 > ‒ 2, c) „6 ist durch 3 teilbar“, d) „10 ist durch 4 teilbar“ wahr oder falsch ist! Begründe! 1.56 Gegeben sind die Aussagen A: „n ist durch 3 teilbar.“ und B: „n ist durch 5 teilbar.“ Formuliere die Aussagen a) ¬ A, b) ¬ B, c) A ? B, d) A = B, e) ¬ (A ? B), f) ¬ (A = B)! 1.57 A ist eine Aussage über die ganze Zahl x. Kreuze die beiden richtigen Verneinungen an! a) A: x > 0 ? x ª 10 b) A:x<–5 = x > 5 x < 0 ? x > 10  x ª – 5 = x º 5  x < 0 = x > 10  x < – 5 ? x > 5  x ª 0 ? x > 10  x º – 5 = x ª 5  x ª 0 = x > 10  x º – 5 ? x ª 5  x > 10 = x ª 0  –5ªxª5  1.58 Gilt für die folgende Aussage über eine ganze Zahl x auch die Umkehrung? a) x > 0 w 1 _ x > 0 b) x > 0 w x ≠ 0 c) x < 0 w x 3 < 0 d) x º 1 w x2 º 1 1.59 Es sei x eine ganze Zahl. Kreuze die beiden wahren Aussagen an! Allaussagen und Existenzaussagen L • Eine Allaussage A ist von der Form: Für alle x gilt A. BEISPIEL „Für alle natürlichen Zahlen x gilt: x 2 º 0.“ Eine Allaussage kann man widerlegen, indem man ein Gegenbeispiel angibt. BEISPIEL Alle Primzahlen sind ungerade.“ Ein Gegenbeispiel ist die gerade Primzahl 2. Eine k orrekte Verneinung einer Allaussage lautet: Es gibt mindestens ein x, für das A nicht gilt. • Eine Existenzaussage A ist von der Form: Es gibt mindestens ein x, für das A gilt. BEISPIEL „Es gibt mindestens eine ganze Zahl x, für die x 2 = 4 gilt.“ Eine Existenzaussage kann man beweisen, indem man ein Beispiel angibt. BEISPIEL „Es gibt eine natürliche Zahl n, für die n 2 = 9 gilt.“ Ein Beispiel ist die Zahl 3. Eine korrekte Verneinung einer Existenzaussage lautet: Für alle x gilt nicht A. 1.60 Begründe oder widerlege! a) Für alle ganzen Zahlen x gilt: x2 – x > 1 b) Es gibt mindestens eine ganze Zahl x, für die gilt: x3 < 0 1.61 Bilde die korrekte Verneinung! a) Für alle ganzen Zahlen x gilt: x3 º 0 b) Es gibt mindestens eine ganze Zahl x, für die gilt: x2 > 0 AUFGABEN L x ≠ 0 É x < 0 = x > 0  x2 > 0 w x > 0  x < 0 É x2 > 0  x ª 0 = x ≠ 0 w x < 0  x · y = 0 É x = 0 = y = 0  L AUFGABEN L Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

21 1.4 Mengen 1.4 Mengen Mengen und ihre Elemente 1.62 Schreibe alle natürlichen Zahlen, die größer als 1 und kleiner als 6 sind, in einer Menge M 1) durch Aufzählen der Elemente, 2) durch Beschreiben der Elemente an! LÖSUNG 1) M = {2, 3, 4, 5} 2) M = {x * N 1 1 < x < 6} [Lies: x aus N, für die gilt: 1 < x < 6.] Vordefinierte Mengen erhalten als Bezeichnung einen besonderen Buchstaben. BEISPIELE N = {0, 1, 2, 3, …} ist die Menge der natürlichen Zahlen. R ist die Menge der reellen Zahlen. x * M … [Lies: x ist Element der Menge M. Oder kurz: x aus M.] x + M … [Lies: x ist kein Element der Menge M. Oder kurz: x nicht aus M.] Definition (Beziehungen zwischen Mengen) (1) Zwei Mengen A, B heißen gleich (A = B), wenn sie die gleichen Elemente enthalten. (Auf die Reihenfolge, in der die Elemente angegeben werden, kommt es nicht an.) (2) Eine Menge A heißt Teilmenge der Menge B (A a B), wenn jedes Element von A auch Element von B ist. (3) Eine Menge A, die mindestens ein Element enthält, heißt echte Teilmenge der Menge B (A ² B), wenn A a B und A ≠ B. 1.63 Gegeben sind die Mengen A = {4, 3, 2}, B = {2, 3, 4} und C = {2, 3, 4, 5}. Begründe, dass 1) A = B, 2) A ² C! LÖSUNG 1) A und B enthalten die gleichen Elemente, daher gilt A = B. 2) Jedes Element von A ist auch Element von C, daher gilt A a C. Weil zusätzlich A ≠ C ist, gilt sogar A ² C. Satz Sind A und B Mengen, dann gilt A = B É A a B ? B a A. BEWEIS A = B gilt genau dann, wenn A und B die gleichen Elemente enthalten. Dies gilt genau dann, wenn jedes Element von A auch Element von B und jedes Element von B auch Element von A ist, dh. wenn A a B ? B a A gilt. Definition (Verknüpfungen von Mengen) Es seien A und B Teilmengen einer Grundmenge G. A ° B = {x * G ‡ x * A ? x * B} heißt Durchschnitt von A und B. [Lies: A geschnitten mit B] A B G A ± B = {x * G ‡ x * A = x * B} heißt Vereinigung von A und B. [Lies: A vereinigt mit B] A B G A\B = {x * G ‡ x * A ? x + B} heißt Differenz von A und B. [Lies: A ohne B] A B G BEISPIELE {1, 3, 5} ° {3, 5, 7} = {3, 5}, R– ± R 0 + = R, N\{0} = N* ist die Menge N ohne die Zahl 0. L Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

22 1 GRUNDLEGENDE BEGRIFFE UND FERTIGKEITEN Sind A und B zwei Mengen, die kein gemeinsames Element enthalten, so ist ihr Durchschnitt eine Menge, die kein Element enthält. Dieser Grenzfall einer Menge wird als „leere Menge“ bezeichnet. Definition (1) Die Menge, die kein Element enthält, heißt leere Menge und wird mit { } oder ¿ bezeichnet. (2) Zwei Mengen A und B heißen disjunkt, wenn sie kein gemeinsames Element besitzen, dh. wenn A ° B = { }. Satz Für jede Menge A gilt: { } a A. BEWEIS Wir müssen zeigen: Jedes Element von { } ist auch ein Element von A. Dies ist aber klarerweise richtig, da { } gar kein Element enthält.  1.64 Begründe, dass A = {3, 6, 10, 15} und B = {2, 5, 7} disjunkt sind, und gib die Menge A ° B an! LÖSUNG A und B besitzen kein gemeinsames Element. Somit ist A ° B = { }. Definition Ist A eine Teilmenge einer Grundmenge G, so nennt man die Menge A’ = G\A die Komplementärmenge von A in G. 1.65 Es sei die Grundmenge G die Menge der natürlichen Zahlen N. Es sei A die Menge aller geraden natürlichen Zahlen. Gib die Komplementärmenge A’ von A in G an! LÖSUNG A’ ist die Menge aller ungeraden natürlichen Zahlen. 1.66 Schreibe alle natürlichen Zahlen, die größer als 3 und kleiner als 10 sind, in einer Menge A 1) durch Aufzählen der Elemente, 2) durch Beschreiben der Elemente an! 1.67 Schreibe alle natürlichen Zahlen, die größer als 14 und kleiner als 22 sind, in einer Menge B 1) durch Aufzählen der Elemente, 2) durch Beschreiben der Elemente an! 1.68 Schreibe die folgende Menge durch Aufzählen ihrer Elemente an! a) A = {n * N 1 4 ª n < 13} c) C = {n * N 1 n = 1 = n = 2} e) E = {n * N 1 n teilt 14} b) B = {n * N 1 n = 0 ? n º n} d) D = {n * N 1 n º 12 ? n < 17} f) F = {n * N 1 n < 1 ? n > 7} 1.69 Schreibe die folgende Menge im beschreibenden Verfahren an! a) A = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} c) C = {1, 2, 3, 4, 6, 12} e) E = {65, 66, 67, 68, …} b) B = {10, 11, 12, 13, 14, 15} d) D = {11, 22, 33, 44, 55} f) F = {0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, …} 1.70 Gilt A ² B, B ² A, A = B oder keine der drei Mengenbeziehungen? a) A = {x * N ‡ 3 < x ª 6}, B = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} c) A = {x * N ‡ x2 = 4}, B = {2} b) A = {x * N ‡ 1 < x < 5 ? x ≠ 3}, B = {x * N ‡ x2 = 9} d) A = {x * N ‡ 2 ª x}, B = {2} A B A G A' AUFGABEN L Ó Arbeitsblatt 9br3ku Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

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