8 Lösungen E Gleichungen und Formeln 1 Terme, Formeln und Gleichungen (Seite 37) 189 a) Term Gleichung 5 x – 3 y – 11 9 a + 7 b y = 77 14 u + 4 v = w + 3 22,8 z b) Term Gleichung 3,75 w 5 (x + y) = 20 a + 0,3 b – 6,7 c 0,25 u – v = 1,5 190 1D, 2C, 3E, 4B 191 a) a2 c) y __ 3 + 44 e) a·16 b) x + 9 d) 2x – 11 f) (b + 22)3 192 1E, 2A, 3C, 4B 2 Lösen von Gleichungen (Seite 38) 193 a) x = 16 c) m = 7 e) t = 16 g) u = 31 b) y = 31 d) s = 98 f) z = 16 h) r = 16 Lösungswort: ERDBEERE 194 a) x + 243 = 501; x = 258 c) 3·z = 417; z = 139 b) y + 198 = 313; y = 115 d) 5·s = 225; s = 45 195 a) 3·y + 55 = 154; y = 33 c) 10,3 = 5·s + 4,8; s = 1,1 b) 2·x + 8,5 = 41,7; x = 16,6 d) 3,3 = 3·t + 4 _ 5 ; t = 0,83333 196 1) x = 15 6) b = 11 11) w = 62 2) y = 9 7) a = 24 12) v = 12 3) s = 20 8) d = 13 13) e = 28 4) t = 10 9) r = 8 14) f = 25 5) z = 5 10) c = 2 15) t = 1 E R B S E I S I N D L E K E R E 15 13 62 28 12 11 5 24 20 10 1 8 9 2 25 Lösungswort: EINSIEDLERKREBSE 197 a) x = 6 c) u = 16 e) a = 3 b) y = 5 d) s = 73 f) x = 2 Lösungswort: SIEGER 198 a) 1) Paket A und Paket B haben zusammen 12 kg. 2) zB a = 3 ¥ b = 9 b) 1) Paket B ist um 12 kg schwerer als Paket A. 2) zB a = 3 ¥ b = 15 c) 1) Paket A ist halb so schwer wie Paket B. 2) zB a = 3 ¥ b = 6 d) 1) Paket A ist dreimal so schwer wie Paket B. 2) zB b = 4 ¥ a = 12 199 a) A = l·b, b = Al b) b = 3,6 m 200 a) G = 25 cm2 b) h = VG, G = Vh 201 a) K = M + B b) M = K – B, B = K – M c) Miete 480 € 202 a) 0 °C = 32 °F; 10 °C = 50 °F, 20 °C = 68 °F, 25 °C = 77 °F, 50 °C = 122 °F, 100 °C = 212 °F b) °C = (°F – 32)· 5 _ 9 ; 32 °F = 0 °C, 113 °F = 45 °C, 131 °F = 55 °C, 167 °F = 75 °C 203 Grundgebühr = G Preis pro Stunde = P Verbrauchte Stunden = t 1) R = G + P·t 2) G = R – P·t ; P = (R – G)t; t = (R – G)P 3) R = 74,60 € 204 1) 5·x – 3,8 = 31,2 Die Zahl lautet 7. 2) 6·a + 12,5 = 492 Die Zahl lautet 2. 3) y + 24 = 3·y Jonas ist jetzt 12 Jahre alt. 4) 2·b + 8 = 30 Manuela ist 11 Jahre alt. 5) t + (t – 5) + (t – 5)·3 = 60 Die Tochter ist 16 Jahre alt. 6) 3,85 + 5·x = 5,60 Eine Semmel kostet 35 Cent. 7) 100 – 22 = 2·a + 4·a Eine Eintrittskarte für ein Kind kostet 13 €. 8) 50 + 25 + 32,50·y = 205 Die Kinder übernachten viermal am Mondsee. 9) 136,50 = p – p4 Der ursprüngliche Preis des Kostüms war 182 €. 10) 3 120 = 1 800 + 22·f Die Masse eines Fasses beträgt 60 kg. 11) b – 2 + b + 14 = 32 Die Seite b ist 10 cm lang. 12) α + 2·α + 3·α = 180 Der Winkel α ist 30°. S E R 60 35 13 7 30 11 4 12 10 16 2 182 N I C H T I S T Ü B Z E U G E N D E R A L S O E R F G . L Lösungstext: NICHTS IST ÜBERZEUGENDER ALS ERFOLG. 205 1E, 2C, 3B, 4D, 5F, 6A 206 1) Die Lösung ist falsch: x = 6 2) Die Gleichung wurde falsch aufgestellt: a + (a + 2) + 2 a = 26 3) Beim Aufstellen der Gleichung wurde nicht auf gleiche Einheiten geachtet, die Gleichung lautet: 20 – 0,4 t = 12 207 1) 1D, 2A, 3E, 4C, 5F, 6B 2) 1: 14; 2: 16; 3: 162; 4: 15; 5: 8; 6: 162 208 A, E 209 B, D 210 1D, 2A, 3F, 4B 211 A, C 212 a) Sie muss die Probe machen, dh in die Gleichung 7·x − 21 = 13 für x die Zahl 23 einsetzen. Sie erhält eine falsche Aussage. b) Sie hat zuerst die Punktrechnung umgeformt und dann die Strichrechnung. Beim Lösen von Gleichungen muss man die KLAPUSTRI-Regel umkehren. 213 a) Länge a: 2 x, Breite b: x Gleichung: 6 x = 66 ¥ x = 11 a = 22 cm, b = 11 cm b) jüngerer Sohn: x, älterer Sohn: 2 x, Tochter: x – 6 Gleichung: x + 2 x + x – 6 = 50 ¥ x = 14 Tochter: 8 Jahre, jüngerer Sohn: 14 Jahre, älterer Sohn: 28 Jahre 214 1) 1000 – x = 700 + x; Verkäufer – 150 €; Käuferin + 150 € 2) 1000 – 2 x = 700 + x; Verkäufer – 200 €; Käuferin + 200 € 3) Verkäufer: – 125 € – 50 € Gutschein, Käuferin + 125 € + 50 € Gutschein ¥ Variante 2) für Käuferin am besten; Variante 1) oder 3) für Verkäufer besser. Es kommt auf den Gutschein an. Merkenswertes (Seite 43) Lösen von Gleichungen Beim Lösen einer Gleichung ist es unser Ziel, den zunächst unbekannten Wert für die Variable zu finden, sodass die Gleichung stimmt. Beispiel: x·5 – 9 = 26. In unserem Beispiel werden auf die Unbekannte x zwei Rechenoperationen angewandt: zuerst eine Multiplikation (also eine Punktrechnung) und dann eine Subtraktion (eine Strichrechnung). Um den Wert von x zu finden, müssen wir die beiden Rechenoperationen rückgängig machen. Zuerst muss die Umkehrung der Strichrechnung durchgeführt werden, dann die Umkehrung der Punktrechnung. Du weißt schon aus der 1. Klasse: Addition und Subtraktion sind entgegengesetzte Rechnungsarten. Die Subtraktion ist die Umkehrung der Addition. Die Addition ist die Umkehrung der Subtraktion. Ebenso gilt: Multiplikation und Division sind entgegengesetzte Rechnungsarten. Die Division ist die Umkehrung der Multiplikation. Die Multiplikation ist die Umkehrung der Division. In unserem Beispiel müssen wir zuerst die Subtraktion von 9 rückgängig machen, also die Zahl 9 addieren. Es ergibt sich: x·5 = 26 + 9 Anschließend machen wir die Multiplikation mit 5 rückgängig, indem wir durch 5 dividieren. Es ergibt sich: x = 355 Wir sehen: x = 7 ist die Lösung unserer Gleichung. Gleichungen aus Textaufgaben Lösen von Textaufgaben durch Gleichungen 1. Lies den Text genau durch! 2. Bezeichne die gesuchte Zahl mit einer Variablen! Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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