4 Lösungen 85 E 86 zB 2·2·2·2·2 – 1 = 32 – 1 = 31 87 Zwei- und mehrstellige Primzahlen können an der Einerstelle keine Ziffer 0, 2, 4, 5, 6 und 8 haben. Begründung: Wenn Zahlen 0, 2, 4, 6 oder 8 an der Einerstelle haben, sind sie durch 2 teilbar. Wenn 5 an der Einerstelle steht, sind sie durch 5 teilbar. 88 zB 4 = 2 + 2 16 = 13 + 3 26 = 19 + 7 6 = 3 + 3 18 = 13 + 5 28 = 23 + 5 8 = 5 + 3 20 = 13 + 7 30 = 23 + 7 10 = 7 + 3 22 = 17 + 5 32 = 29 + 3 12 = 7 + 5 24 = 17 + 7 34 = 29 + 5 14 = 7 + 7 89 Melanie: 16 Jahre, Florian: 11 Jahre 90 504 2 504 = 2·2·2·3·3·7; 252 2 (2·2 = 4, 2·3 = 6, 2·2·2 = 8, 3·3 = 9) 126 2 63 3 Dh.: 504 ist teilbar durch 2, 3, 4, 6, 7, 8 und 9. 21 3 7 7 91 1) 1 040 = 2·2·2·2·5·13; T 1040 = {1,2,4,5,8,10,13, 16,20,26,40,52,65,80,104,130,208,260,520,1 040} 2 210 = 2·5·13·17; T 2210 = {1,2,5,10,13,17,26,34,65,85,130,170,221,442,1 105,2 210} 2) ggT (1 040,2 210) = 130 3) 1040·2210 = 2 298 400; kgV( 1 040, 2 210 ) = 17 680 92 4 dm 93 C 94 E 95 Um 804 Uhr kommen die Züge aus beiden Richtungen gleichzeitig an. Merkenswertes (Seite 17) Teiler und Vielfache Die Zahl t ist Teiler der Zahl a, wenn a durch t ohne Rest teilbar ist. Ist die Zahl t ein Teiler der Zahl a, dann ist a ein Vielfaches der Zahl t. 1 und a nennt man unechte Teiler der Zahl a; die übrigen Teiler heißen echte Teiler von a. Der ggT zweier oder mehrerer Zahlen teilt nicht nur jede dieser Zahlen, sondern er ist unter den gemeinsamen Teilern der größte. Das kgV zweier oder mehrerer Zahlen ist nicht nur Vielfaches jeder dieser Zahlen, sondern es ist unter den gemeinsamen Vielfachen das kleinste. Teilbarkeitsregeln Ist die Zahl t Teiler zweier Zahlen a und b, dann ist t auch Teiler der Summe a + b und der Differenz a – b dieser Zahlen. Multipliziert man das kgV und den ggT zweier Zahlen a und b, so erhält man das Produkt der Zahlen a und b. Teilt die Zahl t die Zahl a, dann teilt t auch jedes Vielfache dieser Zahl a. Ob eine Zahl durch 2, 5 oder 10 teilbar ist, ist nur von der Einerstelle abhängig. Ob eine Zahl durch 3 oder 9 teilbar ist, ist nur von der Ziffernsumme abhängig. Primzahlen Natürliche Zahlen (> 1), die nur unechte Teiler haben, heißen Primzahlen. 1 ist keine Primzahl. Wenn eine Zahl auch echte Teiler hat, spricht man von einer zusammengesetzten Zahl. Es gibt unendlich viele Primzahlen. Jede Zahl ist als Produkt von Primzahlen schreibbar und diese Primfaktorenzerlegung ist bis auf die Reihenfolge eindeutig. Lösungsbild: Pinguin B Ganze Zahlen 1 Einführung der ganzen Zahlen (Seite 18) 96 0 10 20 30 °C –10 97 177 °C 98 9 270 hm 99 B, D 100 a) 0 +10 –10 –12 –8 –2 3 13 b) 0 4 6 8 –6 –2 –4 –1 2 7 c) –35 –30 –25 –20 –15 –10 –5 –32 –24 –17 –9 101 a) 0 50 60 10 20 30 40 –60 –50 –40 –30 –20 –10 b) 0 20 5 10 15 –5 –10 –15 –20 c) 0 50 100 150 –50 –100 –150 –200 102 a) Vorgänger: 4, Nachfolger: 6, c) Vorgänger: ‒1, Nachfolger: 1 b) Vorgänger: ‒6, Nachfolger: ‒4 d) Vorgänger: ‒2, Nachfolger: 0 103 a) 1C, 2B, 3A, 4E, 5D b) 1D, 2A, 3E, 4C, 5B 104 ‒18 < ‒11 < ‒3 < ‒1 < 3 < 11 < 12 < 13 < 21 105 Lösungswort a) PRIMA b) SUPER 2 Addieren und Subtrahieren (Seite 19) 106 Lösungswort: FINNLAND 107 a) 5, b) 13, c) 20, d) a 108 a) 12, b) 0, c) z – 1, d) z – 4 109 a) ‒13, b) 6, c) 7, d) ‒18 110 C; Der Kontostand beträgt 2·800 € = 1600 €; also muss sie 2 400 € Gehalt beziehen 111 West-Ost-Ausdehnung: 70°, Nord-Süd-Ausdehnung: 36° 112 Helium: ‒272 °C, Sauerstoff: 55 K, Quecksilber: 234 K; Uran: 913 K, Gold: 1 337 K, Eisen: 1 535 °C, Kohlenstoff: 3773°C 113 a) 1 –1 0 –2 –3 +4 c) –1 –2 –3 –4 –3 b) 0 10 1 –2 –12 114 a) 1) 14 b) 1) 32 c) 1) 0 d) 1) z – 1 2) 16 2) 34 2) 2 2) z + 1 115 1.10. 5.10. 7.10. 17.10. 20.10. 22.10. 28.10. Eingang 40 € 280 € 440 € Ausgang 120 € 540 € 30 € Kontostand 220 € 100 € 140 € ‒400 € ‒120 € ‒150 € 290 € Merkenswertes (Seite 21) Eigenschaften ganzer Zahlen Die negativen ganzen Zahlen, die Zahl 0 und die positiven ganzen Zahlen bilden gemeinsam die Menge der ganzen Zahlen Z = {…, ‒3, ‒2, ‒1, 0, 1, 2, 3, …}. Jede ganze Zahl kann auf einer Zahlengeraden veranschaulicht werden. Jede ganze Zahl entspricht genau einer Stelle auf der Zahlengeraden. Dabei hat jede ganze Zahl genau einen Vorgänger und genau einen Nachfolger. Je weiter links eine Zahl auf der Zahlengeraden ist, desto kleiner ist sie. So lassen sich ganze Zahlen ordnen. Die negativen ganzen Zahlen n– sind alle kleiner null, die positiven ganzen Zahlen Z+ sind alle größer null. Addieren und Subtrahieren Eine natürliche Zahl n wird zu einer ganzen Zahl z addiert, indem man auf der Zahlengeraden von der Zahl z aus n Schritte nach rechts geht. Eine Zahl n aus n wird von einer ganzen Zahl z subtrahiert, indem man auf der Zahlengeraden von der Zahl z aus n Schritte nach links geht. Addiert man zu einer Zahl null, so ändert sich der Wert nicht. Subtrahiert man von einer Zahl null, so ist die Differenz gleich dem Minuenden. Lösungsbild: Krokodil 19 6 24 9 15 10 3 20 12 18 21 5 14 17 2 1 13 4 22 23 11 16 8 7 22 9 2 5 27 21 0 24 19 18 26 25 14 20 11 29 10 23 6 16 17 12 7 1 8 13 3 4 15 28 30 31 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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