15 Lösungen 7 Besondere Punkte des Dreiecks (Seite 74) 312 a) U = (5,4 1 4,7) b) r ≈ 4,5 cm c) S = (4,7 1 5,0) 313 a) I = (3,9 1 3,9) b) ρ ≈ 2,3 cm c) H = (2,2 1 2,9) d) ha ≈ 5,8 cm, hb ≈ 8,0 cm, hc ≈ 7,2 cm 314 a) 45 mm š 225 m b) hP ≈ 75 mm š 375 m, hQ ≈ 55 mm š 275 m, hR ≈ 44 mm š 230 m c) ρ ≈ 18 mm š 90 m P Q Schatz X Y Z f R Der Schatz liegt am Schnittpunkt von PQ mit der EULER-Geraden. K: __ SQ ≈ 47 mm š 235 m 8 Satz von Thales (Seite 76) 315 a) a ≈ 4,6 cm, α ≈ 38°, β ≈ 52°, A ≈ 13,3 cm2 b) a ≈ 3,2 cm, b ≈ 6,1 cm, α ≈ 28°, A ≈ 9,8 cm2 316 a) C = (‒1 1 ~3,16); b) C = (1 1 ~4,46) 317 Das Boot muss sich auf einem Halbkreisbogen befinden, dessen Durchmesser Leuchtturm und Boje verbindet (Satz von Thales) Merkenswertes (Seite 77) Grundbegriffe und Bezeichnungen, Winkel im Dreieck, Einteilung der Dreiecke, Eigenschaften und Flächeninhalt Die Bezeichnung der Eckpunkte A, B, C eines Dreiecks erfolgt gegen den Uhrzeigersinn. Die Seite a liegt dabei dem Eckpunkt A gegenüber usw. Nach Seitenlängen eingeteilt unterscheidet man allgemeine Dreiecke, gleichschenklige Dreiecke und gleichseitige Dreiecke. Nach Winkeln eingeteilt unterscheidet man spitzwinklige Dreiecke, stumpfwinklige Dreiecke und rechtwinklige Dreiecke. In jedem Dreieck ist die Summe der drei Innenwinkel 180°. Den Flächeninhalt eines Dreiecks berechnet man zB mit A = a·h a ____ 2 . Dreieckskonstruktionen, besondere Punkte des Dreiecks Ein Dreieck ist eindeutig konstruierbar, wenn nachfolgende Bestimmungsstücke gegeben sind. Wenn zwei Dreiecke in diesen Bestimmungsstücken übereinstimmen, dann sind sie kongruent (deckungsgleich): Die drei Seitenlängen (SSS-Satz) die Länge einer Seite und die Größen zweier Winkel (WSW-Satz), die Längen zweier Seiten und die Größe jenes Winkels, der von ihnen eingeschlossen wird (SWS-Satz) sowie die Längen zweier Seiten und die Größe jenes Winkels, der der längeren Seite gegenüberliegt (SsW-Satz). In jedem Dreieck schneiden einander die Streckensymmetralen im Umkreismittelpunkt U, die Winkelsymmetralen im Inkreismittelpunkt I, die Schwerlinien im Schwerpunkt S sowie die Höhen im Höhenschnittpunkt H. Satz von Thales Im rechtwinkligen Dreieck heißen die beiden Seiten, die den rechten Winkel einschließen Katheten, die ihm gegenüberliegende Seite heißt Hypotenuse. Die beiden ihr anliegenden Winkel ergänzen einander auf 90°, sie sind Komplementärwinkel. Satz von Thales: Alle einem Kreis eingeschriebenen Dreiecke, bei denen eine Seite mit dem Durchmesser übereinstimmt, sind rechtwinklig. Lösungstext: Was fällt durch das Fenster, ohne es zu zerbrechen? Das Licht! J Vierecke 1 Rechteck und Quadrat (Seite 78) 318 A B C D a b a b M Diagonalen stehen normal aufeinander Gegenüberliegende Seiten sind gleich lang und parallel u = 4 a u = 2 a + 2 b Inkreis A = a·b A = a 2 Diagonalen halbieren einander Vier gleich lange Seiten Vier rechte Winkel Je zwei gleich lange Seiten Umkreis A B C D a a a a M 319 a d 2 Qu 1 4 a 2 8 a 3 4 d 4 12 a Ru 1 6 a 2 6 d 3 8 a 4 5 d A a2 4 a2 d2 9 a2 A 2 a2 2 d2 3 a2 3 d2 ___ 2 320 a) a = 9 cm b) a = 25 cm c) a = 4 cm d) a = 12 cm 321 1) 4 A = 16,79 cm2 2) C 2 Parallelogramm und Raute (Seite 79) 322 e = __ AC ≈ 93 mm, f = ___ BD ≈ 74 mm 323 Lösungswort: TALISMAN 324 f ≈ 8,6 cm, ρ ≈ 2,5 cm 325 Richtig sind A, B, D (halbieren einander, stehen aufeinander normal, sind auch Winkelsymmetralen) 326 1) A = (4 1 1), B = (9 1 1), C = (6 1 5), D = (1 1 5) 2) A = 6 cm2 + 8 cm2 + 6 cm2 = 20 cm2 3) A = a·h a ¥ 5·4 = 20 cm2 327 Zeichnet man die Höhe ha so wie in der Figur im Eckpunkt B ein, so entsteht das rechtwinklige Dreieck BCE. Dieses ist auf Grund des Seiten-Winkel-Seiten-Satzes deckungsgleich mit dem Dreieck ADF. Der Flächeninhalt des Parallelogramms ABCD ist also gleich groß wie der des Rechtecks ABEF. Für den Flächeninhalt jedes Dreiecks gilt: „A = Länge mal Breite.“ Die Länge des Rechtecks ABEF entspricht der Seite a des Parallelogramms, die Breite des Rechtecks entspricht der Höhe ha des Parallelogramms. Den Flächeninhalt des Rechtecks ABEF und damit auch den des Parallelogramms ABCD bekommt man daher durch die Formel A = a·ha. In gleicher Weise zeigt man, dass man den Flächeninhalt des Parallelogramms auch mir der Formel A = b·hb berechnen kann. Es gilt also allgemein: „Flächeninhalt des Parallelogramms = Seite mal zugehörige Höhe.“ 328 Lösungswort: MARONI Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
RkJQdWJsaXNoZXIy ODE3MDE=