Das ist Mathematik 2, Arbeitsheft

Arbeitsheft Humenberger (Hrsg.) Aue, Hasibeder, Himmelsbach, Schüller-Reichl Das ist Mathematik A B C D

Das ist Mathematik 2, Arbeitsheft und E-Book Schulbuchnummer: 215633 Das ist Mathematik 2, Arbeitsheft E-Book Solo Schulbuchnummer: 215635 Mit Bescheid des Bundesministeriums für Bildung, Wissenschaft und Forschung vom 11. März 2024, Geschäftszahl: 2022-0.740.166, gemäß § 14 Abs. 2 und 5 des Schulunterrichtsgesetzes, BGBl. Nr. 472/86, und gemäß den derzeit geltenden Lehrplänen als für den Unterrichtsgebrauch an Mittelschulen und an allgemein bildenden höheren Schulen – Unterstufe für die 2. Klasse im Unterrichtsgegenstand Mathematik (Lehrplan 2023) geeignet erklärt. Dieses Werk wurde auf der Grundlage eines zielorientierten Lehrplans verfasst. Konkretisierung, Gewichtung und Umsetzung der Inhalte erfolgen durch die Lehrerinnen und Lehrer. Liebe Schülerin, lieber Schüler, du bekommst dieses Schulbuch von der Republik Österreich für deine Ausbildung. Bücher helfen nicht nur beim Lernen, sondern sind auch Freunde fürs Leben. Kopierverbot Wir weisen darauf hin, dass das Kopieren zum Schulgebrauch aus diesem Buch verboten ist – § 42 Abs. 6 Urheberrechtsgesetz: „Die Befugnis zur Vervielfältigung zum eigenen Schulgebrauch gilt nicht für Werke, die ihrer Beschaffenheit und Bezeichnung nach zum Schul- oder Unterrichtsgebrauch bestimmt sind.“ Technische Zeichnungen: Dr. Herbert Löffler, Wien Illustrationen: Mag. Adam Silye, Wien 1. Auflage (Druck 0001) © Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2024 www.oebv.at Alle Rechte vorbehalten. Jede Art der Vervielfältigung, auch auszugsweise, gesetzlich verboten. Redaktion: Mag. Melanie Zimmermann, Wien Herstellung: Ing. Bianca Mannsberger, Wien Umschlaggestaltung: weissbunt, design und kontext, Berlin Layout: weissbunt, design und kontext, Berlin Satz: CMS - Cross Media Solutions GmbH, Würzburg Druck: Paul Gerin GmbH & Co KG, Wolkersdorf ISBN 978-3-209-12284-1 (Das ist Mathematik AH 2 + E-Book) ISBN 978-3-209-13079-2 (Das ist Mathematik AH 2 E-Book Solo) Sommertraining Mathematik AH 2 ISBN 978-3-209-09180-2 www.oebv.at ISBN 978-3-209-09180-2 • Spielerische Wiede des Mathematikst • Ein schülergerecht perfekt für einen T • Ausgefüllte Lösung • Viele Rätsel und Sp dim2ahst_12288_umschlag_id22.indd 1-2 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

www.oebv.at Arbeitsheft Humenberger (Hrsg.) Aue, Hasibeder, Himmelsbach, Schüller-Reichl Das ist Mathematik 2 A B C Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

Inhaltsverzeichnis Wir wiederholen 4 Wiederholungstest 1 7 Wiederholungstest 2 9 Zahlen und Maße A Teilbarkeit 11 1 Teiler und Vielfache 11 2 Teilbarkeitsregeln 13 3 Primzahlen 14 Merkenswertes 17 B Ganze Zahlen 18 1 Einführung der ganzen Zahlen 18 2 Addieren und Subtrahieren 19 Merkenswertes 21 C Bruchzahlen und Bruchrechnen 22 1 Brüche und Bruchzahlen 22 2 Anwenden und Deuten von Brüchen 24 3 Rechnen mit Bruchzahlen 25 Merkenswertes 29 D Prozentrechnung 31 1 Grundbegriffe 31 2 Graphische Darstellungen von Prozentangaben 32 3 Rechnen mit Prozenten 33 Merkenswertes 36 Variablen und Funktionen E Gleichungen und Formeln 37 1 Terme, Formeln und Gleichungen 37 2 Lösen von Gleichungen 38 Merkenswertes 43 F Direkte und indirekte Proportionalität 44 1 Direkt proportionale Größen 44 2 Indirekt proportionale Größen 47 Merkenswertes 49 Daten und Zufall G Statistik – verschiedene Darstellungen 50 1 Mittelwerte 50 2 Häufigkeiten 51 3 Darstellen von Daten 52 4 Baumdiagramme mit relativen Anteilen und Häufigkeiten 54 Merkenswertes 56 2 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

Inhaltsverzeichnis Figuren und Körper H Winkel, Koordinatensystem und Symmetrie 57 1 Winkel 57 2 Koordinatensystem 58 3 Symmetrie und Kongruenz 60 Merkenswertes 63 I Dreiecke 64 1 Grundbegriffe und Bezeichnungen 64 2 Winkel im Dreieck 64 3 Einteilung der Dreiecke 66 4 Eigenschaften und Flächeninhalt 67 5 Dreieckskonstruktionen 70 6 Anwendungen der Kongruenzsätze und Sonderfälle 73 7 Besondere Punkte des Dreiecks 74 8 Satz von Thales 76 Merkenswertes 77 J Vierecke 78 1 Rechteck und Quadrat 78 2 Parallelogramm und Raute 79 3 Drachenviereck (Deltoid) 81 4 Trapez 82 5 Allgemeine Vierecke 84 Merkenswertes 85 Bildnachweis 87 Anhang Lösungen zu den Aufgaben (herausnehmbar) 1–16 B O M DI Damit wird angezeigt, welche der Prozesse (Operieren, Rechnen, Konstruieren; Modellieren, Problemlösen; Darstellen, Interpretieren; Vermuten, Begründen) in der Aufgabe behandelt werden. Symbol für Spiegelaufgaben zum Schulbuch schwierige, herausfordernde Aufgabe, Erweiterungsstoff 1 3 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

4 Wir wiederholen Das Stadion in Graz-Liebenau fasst 15 400 Personen. Ein Meisterschaftsspiel des SK Sturm haben besucht: 8735 Erwachsene 1 928 Jugendliche 634 Kinder 1) Bei diesem Fußballspiel waren Personen. 2) Eintrittskarten wurden nicht verkauft. 3) Die Gesamteinnahmen betrugen €. In die 2B-Klasse gehen 24 Schülerinnen und Schüler. Durchschnittlich bekommen die Kinder 5 € Taschengeld im Monat. Die 8 Mädchen bekommen durchschnittlich 6 € im Monat. Die Buben bekommen im Mittel € im Monat. Markiere im Quadrat denselben Bruchteil, der im Dreieck markiert ist! Berechne! a) 4,2 + 3,5·2,8 – 2,1 = b) 44,2 – 3,4·1,8 + 5,3 = (4,2 + 3,5)·(2,8 – 2,1) = (44,2 – 3,4)·(1,8 + 5,3) = 4,2 + 3,5·(2,8 – 2,1) = 44,2 – 3,4·(1,8 + 5,3) = Herr Zwirn ist Einkäufer einer Kleiderfabrik. Für einen Anzug braucht man 3,40 m Stoff, für eine Hose 1,65 m Stoff. a) Es sollen 80 Anzüge und 190 Hosen angefertigt werden. Herr Zwirn muss m Stoff bestellen. b) Herr Zwirn bekommt sehr günstig 400 m Stoff angeboten. Aus 400 m Stoff können Anzüge geschneidert werden. a) Löse die Gleichungen durch Probieren! 1) x – 35 = 72 x = 2) 17 + y = 54 y = 3) b7 = 10 b = b) Schreibe den Text in Form einer Gleichung und löse diese! Welche Zahl muss man um 56 vermindern, um 29 zu erhalten? Verwende die nebenstehende Abbildung eines Grundstücks zur Lösung der folgenden Aufgaben! 280 m 90 m 110 m 190 m P Q a) Wie groß ist der Umfang des Grundstücks? u = b) Wie groß ist der Flächeninhalt des Grundstücks? A = c) Zeichne in dein Heft den Grundriss im Maßstab 12000 und miss die Länge der Strecke PQ! d) Wie lang ist die Strecke PQ in der Wirklichkeit? __ PQ  = Ein quaderförmiges Wasserbecken ist 20,0 m lang, 4,5 m breit und 1,2 m hoch. a) Boden und Wände werden mit quadratischen Fliesen (Kantenlänge 40 cm) ausgekleidet. Man braucht mindestens Fliesen (ohne Fugen). b) Wenn das Becken mit 100 m3 Wasser gefüllt wurde, steht das Wasser ungefähr hoch. 1 B O M DI Eintrittspreise Erwachsene Jugendliche Kinder 28 € 10 € 5 € 2 B O M DI 3 B O M DI 4 B O M DI 5 B O M DI 6 B O M DI 7 B O M DI 8 B O M DI Wir wiederholen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

5 Wir wiederholen Sechs Angestellte vergleichen ihre Monatsgehälter mit dem Mittelwert € ihrer Gehälter. Gib an, ob das jeweilige Gehalt größer oder kleiner als der Mittelwert ist! Gehalt größer kleiner Gehalt größer kleiner Gehalt größer kleiner 1 598,37 € 1 686,17 € 2 064,16 € 1 627,32 € 1 803,94 € 2 195,48 € Frau Erbler wohnt in Linz und fährt wiederholt zu Konferenzen nach Wien. Sie hat die letzten 12 Fahrzeiten notiert: 2h 08min; 1h 50min; 1h 55min; 2h 10min; 1h 54min; 2h 17min; 2 h 21 min; 2 h 04 min; 1 h 48 min; 2 h 16 min; 2 h 19 min; 2 h 10 min 1) Ihre durchschnittliche Fahrzeit betrug h min. 2) Wenn sie um 8:45 Uhr in Linz weggefahren ist und die Durchschnittszeit braucht, kommt sie um Uhr in Wien an. 3) Wie viel Zeit sollte sie einplanen, damit sie auf alle Fälle pünktlich in Wien ist? A 1 h 50 min B 2 h C 2 h 10 min D 2 h 20 min E 2 h 30 min € 60 80 100 120 140 160 180 200 40 20 0 2016 2017 2018 2019 2020 Jahr Im Säulendiagramm links sind die monatlichen Haushaltsausgaben für Bioprodukte in Österreich in den Jahren 2016 bis 2020 angegeben. 1) Lies die jeweiligen Ausgaben möglichst genau ab und trage sie in die Tabelle ein! 2) Wie beurteilst du die Entwicklung? Überlege mögliche Gründe! Jahr Durchschnittliche Ausgaben pro Monat (in Euro) 2016 2017 2018 2019 2020 Wie viele verschiedene Outfits bestehend aus T-Shirt, Rock und Stiefel kann Lea zusammenstellen? Fertige ein Baumdiagramm an und zähle die Kombinationsmöglichkeiten ab! 9 B O M DI 10 B O M DI B O M DI 11 12 B O M DI Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

6 Wir wiederholen Zeichne drei Parallele a, b und c zum Durchmesser d so, dass die Gerade a am Kreis k vorbeigeht, die Gerade b den Kreis k in zwei Punkten schneidet und die Gerade c eine Tangente des Kreises k ist! a) Zeichne im Punkt P eine 3,4 cm lange Sehne ein! Male das durch diese Sehne festgelegte Kreissegment an! b) Zeichne den Radius MQ ein! Dieser Radius soll einen Kreissektor mit dem Zentriwinkel α = 55° begrenzen! Kennzeichne diesen Sektor durch Anmalen! Vervollständige das Rechteck ABCD so, dass die Seite b = 3,2 cm lang wird! Zeichne die beiden Diagonalen ein und konstruiere den Umkreis des Rechtecks! Wie lang sind die Diagonalen und wie groß ist der Radius des Umkreises? Wie groß sind Umfang und Flächeninhalt des Rechtecks? d ≈ cm r ≈ cm u = cm A = cm2 1) Berechne Umfang und Flächeninhalt des Quadrats ABCD mit a = 5,1 cm! u = cm, A = cm2 2) Gib den Umfang und den Flächeninhalt eines Quadrats mit einer Seitenlänge von a = 10,2 cm an! u = cm, A = cm2 3) Vergleiche 1) und 2)! Was fällt dir auf? a) Von einem Rechteck kennt man den Umfang u = 76,4 cm und die Länge der Seite b = 9,8 cm. Wie lang ist die Seite a und wie groß ist der Flächeninhalt des Rechtecks? a = cm, A = cm2 b) Von einem Rechteck kennt man den Flächeninhalt A = 86,1 cm2 und die Länge der Seite b = 8,2 cm. Wie lang ist die Seite a und wie groß ist der Umfang des Rechtecks? a = cm, u = cm Welche der folgenden Abbildungen stellen kein Würfelnetz dar? Streiche sie durch! Ein Quader hat die Kantenlängen a = 4,2 cm, b = 3,4 cm und c = 2,8 cm. Berechne die Summe aller Kantenlängen, den Oberflächeninhalt und den Rauminhalt des Quaders! Summe der Kantenlängen = cm O = cm2 V = cm3 13 M d k B O M DI M P Q a A B B O M DI 14 15 B O M DI B O M DI 16 B O M DI 17 18 B O M DI A B C D 19 B O M DI Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

7 Wiederholungstest 1 Kreuze die richtigen Rechnungen an und korrigiere die falschen! Korrektur A 4·12 – 10(4 + 1) – 183 = 37 B 5·(18 – 13) + 48(14 – 6) – 1 = 30 C (25 + 14)13 + 2·(7 – 3) + 9 = 29 D (24 – 8)(12 + 4) + (8 – 5)·3 = 9 Löse die Gleichung durch Probieren! a) a – 25 = 38 a = b) b + 44 = 66 b = c) 33 – c = 17 c = Gib drei natürliche Zahlen an, die man für x einsetzen kann! a) x + 18 < 34 b) 65 – y > 18 c) z + 4 > 32 Drücke in der angegebenen Einheit aus! a) 351 mm = m c) 5 km 21 m = km e) 88 dag = kg b) 8 cm = m d) 7 t 25 kg = t f) 6 012 g = kg Schreibe als mehrnamige Größe! a) 8,037 kg = c) 9,59 t = e) 1,501 m = b) 432,4 dag = d) 2,6 km = f) 610,4 dm = Setze das Zeichen < oder > so ein, dass eine wahre Aussage entsteht! a) 1,539 1,54 b) 0,05 0,005 c) 0,08 0,078 d) 26,31 26,301 a) Runde auf Zehntel! b) Runde auf Hundertstel! 72,387 ≈ 387,544 ≈ 72,274 ≈ 0,155 ≈ Ein Waschmittel wird in zwei Packungsgrößen angeboten: 3,5 kg um 10,43 € und 6,4 kg um 18,24 €. Ist die größere Packung günstiger? Erkläre deine Überlegungen! Berechne! (28,5 + 7,2·9,14)(253,89 – 175,3) = Auf einer zehntägigen Rundreise werden 1 980 km zurückgelegt. Für 1 km werden 1,60 € verrechnet. Die Fahrerin erhält täglich zusätzlich 32,8 €. Wie viel Euro muss die Reisegruppe insgesamt bezahlen? An das Busunternehmen sind zu zahlen. Seda behauptet, dass man vier Geraden so auf einem Zeichenblatt zeichnen kann, dass sie genau drei Schnittpunkte haben, aber nicht so, dass sie genau vier Schnittpunkte haben. Begründe deine Meinung mit einer Zeichnung! 20 B O M DI 21 B O M DI B O M DI 22 23 B O M DI 24 B O M DI 25 B O M DI 26 B O M DI 27 B O M DI 28 B O M DI 29 B O M DI 30 B O M DI Wiederholungstest 1 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

8 Wiederholungstest 1 Das Säulendiagramm rechts zeigt die Entwicklung der Jahresmitteltemperaturen von Eisenstadt in den Jahren 1948 bis 2018. Lies die Temperaturwerte in den einzelnen Jahren auf Zehntelgrad genau ab und trage diese Werte in untenstehender Tabelle ein! Jahr Jahresmittel der Temperatur Jahr Jahresmittel der Temperatur 1948 1988 1958 1998 1968 2008 1978 2018 Hat es Sinn, den Mittelwert der Jahresmittel zu berechnen? Begründe! Ein Quader mit den Eckpunkten A, B, C, D, E, F, G und H hat die Kantenlängen: a = 15 cm, b = 6 cm, c = 35 cm. a) Die Gesamtlänge seiner Kanten ist . b) Die Kanten CD und FG sind zueinander . c) Die Kante AD und die Fläche BCGF liegen zueinander. d) Welche Kante passt nicht zu den anderen? Streiche sie durch und ersetze sie durch die passende Kante! AD, BF, CG, FG passend ist: Zeichne auf einem Zeichenblatt in einem Kreis mit dem Radius r = 5,4 cm eine 6,2 cm lange Sehne ein! a) Kennzeichne den zu dieser Sehne gehörenden Sektor! Die Größe seines Zentriwinkels ist °. b) Zeichne zu dieser Sehne zwei parallele Geraden so ein, dass eine Tangente und die andere Passante ist! Konstruiere auf einem Zeichenblatt ein Rechteck ABCD mit a = 6,4 cm und b = 5,1 cm! a) Zeichne die beiden Diagonalen ein! Sie sind lang. b) Konstruiere den Umkreis des Rechtecks! Sein Radius ist . c) Wie groß ist der Umfang des Rechtecks? d) Wie groß ist der Flächeninhalt des Rechtecks? a) Zeichne das rechts abgebildete Grundstück im Maßstab 1500 auf ein Zeichenblatt (Maße in Meter)! b) Gib die Längen der Strecken PQ und XY in der Wirklichkeit an! __ PQ  = __ XY  = Ein quaderförmiges Wasserbecken ist 6,80 m lang, 2,50 m breit und 1,80 m tief. a) Der Rauminhalt des Wasserbeckens in Kubikmeter ist . b) Boden und Wände des Beckens sollen mit einem Spezialanstrich versehen werden. Wie viel Quadratmeter müssen mit dem Anstrich versehen werden? c) Wie hoch steht das Wasser im Becken, wenn es mit 200 Hektoliter gefüllt ist? Runde die Höhe auf Zentimeter! Das Wasser steht hoch. °C 0 9 9,5 10 10,5 11 11,5 12 13 12,5 Jahr 1948 Temperatur 1958 1968 1978 1988 1998 2008 2018 31 B O M DI B O M DI 32 A a b c B C E G H D F 33 B O M DI 34 B O M DI 50 15 65 30 P Q Y X 35 B O M DI 36 B O M DI Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

9 Wiederholungstest 2 Ordne den rechts angegebenen Rechnungen die angeführten Ergebnisse zu! Löse die Gleichung! a) a – 28 = 77 a = b) b + 33 = 56 b = c) 56 – c = 28 c = Mit welcher Zahl wurde multipliziert? Setze ein! a) 34,5· = 345 000 c) 30,12· = 3 012 e) 0,002 3· = 2,3 b) 0,05· = 5 d) 0,413· = 4,13 f) 1,000 7· = 1 000,7 Durch welche Zahl wurde dividiert? Setze ein! a) 34,5 = 0,345 c) 30,12 = 0,030 12 e) 0,0023 = 0,000 23 b) 215 = 0,002 15 d) 76,65 = 0,076 65 f) 6 = 0,000 06 Setze das Komma an die richtige Stelle! Begründe mit Hilfe einer Überschlagsrechnung! a) 28,916 = 1 8 0 6 2 5 c) 298,0720 = 1 4 9 0 3 5 e) 0,756 = 0 1 2 5 b) 34,5·87,3 = 3 0 1 1 8 5 d) 13,05·6,8 = 8 8 7 4 f) 44,98·2,235 = 1 0 0 5 3 0 3 Hanna hat 7,35 € gespart. Sie kauft ein Buch um 4,99 €. Vom Restgeld kauft sie Sticker zu je 0,55 €. 1) Wie viele Sticker kann Hanna kaufen? 2) Wie viel Euro bleiben ihr dann noch übrig? 98,40152,7 – 12,3·(5,8·0,9 – 1,96480,64) = Die Gondel einer Seilbahn benötigt für eine Bergfahrt 16 min und legt dabei eine Strecke von 2 427m zurück. Die durchschnittliche Geschwindigkeit der Gondel ist m/min. Runde auf 1 Dezimale! Setze das richtige Zeichen <, > oder = ein! a) 18,4·0,26 18,40,26 b) 4,533,19 4,53·3,19 Ein Jahr hat ziemlich genau 365 Tage 5 Stunden 48 Minuten 46 Sekunden. 1) Die Abweichung beträgt von den üblichen 365 Tagen in 4 Jahren: h min s 2) Gegenüber dem im Schaltjahr zusätzlich eingeschobenen Tag beträgt daher der Unterschied: min s Überprüfe die Rechnungen und korrigiere die Fehler! Richtig angekreuzt ergeben die Buchstaben von oben nach unten gelesen einen Ort in Österreich. richtig falsch Korrektur A 5,7 + 3,17 + 0,5 + 12,25 = 21,62 W K B 43,08 – 2,4 – 12,09 – 0,37 = 28,22 E A C 0,7·3,8·0,1 = 2,66 E L D 25,769,20,8 = 2,24 R S Lösungswort: __ __ __ __ 37 B O M DI 8·4 + (12 – 6)2 = 8·(4 + 12) – 62 = 8·4 + (12 – 62) = 8·(4 + 12 – 62) = (8·4 + 12 – 6)2 = 8·(4 + 12 – 6)2 = 19 40 35 41 104 125 38 B O M DI 39 B O M DI 40 B O M DI B O M DI 41 42 B O M DI 43 B O M DI 44 B O M DI 45 B O M DI 46 B O M DI 47 B O M DI Wiederholungstest 2 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

10 Wiederholungstest 2 In der folgenden Tabelle ist die Anzahl der Maturantinnen und Maturanten in Österreich seit 1981 angeführt. 1) Runde zuerst die Zahlen auf Tausender! 2) Stelle sie in einem Säulendiagramm dar! Jahr Personen gerundet 1981 27 517 1991 31 108 2001 37 993 2011 42 754 2021 43 753 3) Wie ist die Entwicklung? Kreuze an! A steigend B fallend C gleich bleibend Verwende den Quader in der Figur rechts! a) Gib die gegenseitige Lage folgender Kanten und Flächen an! FG und AD: CD und EH: BC und CD: AB und CDHG: DC und ADHE: ABCD und BCGF: b) Wenn die Gesamtlänge aller Quaderkanten 96 cm beträgt und die Kanten a = 12 cm und b = 6 cm lang sind, wie lang ist dann die Kante c? c = cm Zeichne folgende Winkel auf ein Blatt Papier: α = 167°, β = 254°, γ = 36°, δ = 322°! Konstruiere ein Quadrat ABCD mit der Seitenlänge s = 5,8 cm! a) Konstruiere den Umkreis des Quadrats und gib seinen Radius an! Der Radius beträgt . b) Wie groß sind Umfang und Flächeninhalt des Quadrats? u = cm, A = cm2 c) Ein Rechteck soll denselben Flächeninhalt haben wie das gegebene Quadrat. Wie lang muss die Seite b des Rechtecks sein, wenn seine Seite a doppelt so lang ist wie die Quadratseite? b = cm a) Zeichne das rechts abgebildete Grundstück im Maßstab 12 000 auf ein Zeichenblatt (Maße in Meter)! b) Gib die Längen der Strecken PQ und XY in der Wirklichkeit an! __ PQ  = m, __ XY  = m Eine quaderförmige Sandkiste ist 5,80 m lang, 5,80 m breit und 30 cm tief. a) Der Rauminhalt der Sandkiste in Kubikmeter ist m3. b) Der Boden und die Innenseiten der Seitenwände der Sandkiste werden mit Farbe neu gestrichen. Wie viel Quadratmeter müssen gestrichen werden? m2 c) Nimm an, es werden 8 m³ Sand eingefüllt und gleichmäßig in der Sandkiste verteilt! Wie hoch steht der Sand in der Sandkiste etwa? Runde die Höhe auf Zentimeter! cm Schreibe als gemischte Zahl! a) 9 _ 4 = b) 7 _ 3 = c) 9 _ 5 = d) 17 __ 6 = e) 23 __ 8 = f) 28 __ 3 = B O M DI 1981 1991 2001 2011 2021 Jahr Personen 10 000 20 000 30 000 40 000 50 000 0 48 49 B O M DI A a b c B C E G H D F 50 B O M DI 51 B O M DI 72 24 102 80 P Q Y X 52 B O M DI 53 B O M DI 54 B O M DI Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

A 11 Teilbarkeit Schreibe die Teilermenge der angegebenen Zahl in das Mengendiagramm! Wie viele Teiler hat die Zahl? a) 54 b) 63 c) 99 Du kannst die Teiler einer Zahl, zB von 360 finden, indem du alle Paare natürlicher Zahlen suchst, deren Produkt 360 ist (zB 1·360 = 360, 2·180 = 360 …). Welche Zahlen sind das? Schreibe die Teilermenge T360 auf! T360 = { } a) Gib die Teilermenge T72 an! T72 = { } b) Gib die Vielfachen von 13 an, die kleiner als 100 sind! V13 = { } 1) Bestimme alle Teiler von 496! T496 = { } 2) Addiere alle diese Teiler (ohne 496 selbst)! Vergiss nicht auf den Teiler 1! Summe aller Teiler (außer 496): Wenn die Summe aller Teiler einer Zahl (ohne die Zahl selbst) wieder die Zahl ergibt, nennt man eine solche Zahl vollkommen. 3) Ist die Zahl 116 vollkommen? ja nein Kreuze an, ob die Aussage richtig oder falsch ist! Die Buchstaben ergeben Saras Urlaubsziel. richtig falsch richtig falsch 3 1 16 B K 9 ~ 93 T Z 4 1 16 R U 10 ~ 101 I E 8 1 64 O B 7 ~ 49 O E 5 1 102 T A 2 ~ 3 N L Lösungswort: __ __ __ __ __ __ __ __ Verbinde die Teiler von 48 der Größe nach! 1) Wie lautet die Teilermenge von 36, wie lautet die von 54? T36 = { } T54 = { } 2) Wie lautet die Menge der gemeinsamen Teiler von 36 und 54? T36 ° T54 = { } 3) Wie lautet der größte gemeinsame Teiler von 36 und 54? ggT (36, 54) = 4) Zeichne ein Mengendiagramm zur Ermittlung der gemeinsamen Teiler dieser Zahlen! 5) Bestimme den ggT von 36 und 54 mit Hilfe des Euklidischen Algorithmus! 55 B O M DI 56 B O M DI B O M DI 57 58 B O M DI 59 B O M DI 60 B O M DI 16 22 48 40 10 14 7 1 18 8 24 12 5 4 6 3 9 2 1,5 61 B O M DI 1 Teiler und Vielfache Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

12 Teilbarkeit A Stelle die Teiler bzw. gemeinsamen Teiler von 44 und 120 im untenstehenden Diagramm dar! 1) Wie groß ist das Ergebnis? 7·11·13 = 2) Diese Zahl ist durch teilbar. 3) Multipliziere dieses Produkt mit einer beliebigen 3-stelligen Zahl! Was bemerkst du? Kennst du eine Erklärung dafür? 1) Gib alle Vielfachen von 12 und alle Vielfachen von 18 an, die kleiner als 100 sind! V12 = { } V18 = { } 2) Bestimme die Menge der gemeinsamen Vielfachen von 12 und 18, die kleiner als 100 sind! V12 ° V18 = { } 3) Wie lautet das kleinste gemeinsame Vielfache von 12 und 18? kgV (12, 18) = 4) Zeichne ein Mengendiagramm zur Ermittlung der gemeinsamen Vielfachen dieser Zahlen! Die Buchstaben neben den entsprechenden Zahlen ergeben das Lösungswort! 1) aufsteigend die echten Teiler von 15 2) aufsteigend die echten Teiler von 21 3) den ggT von 15 und 21 4) das Produkt von 15 und 21 Lösungswort: __ __ __ __ __ __ Ein Stapel von 52 Spielkarten wird gleichmäßig auf die Spielerinnen und Spieler aufgeteilt. Wie viele Personen können mitspielen, wenn alle gleich viele Karten bekommen sollen? Trage alle Möglichkeiten in die Tabelle ein! Personen Spielkarten pro Person Eine Musikkapelle besteht aus 42 Personen. Wie können sich die Musikerinnen und Musiker in Reihen aufstellen, wenn in jeder Reihe gleich viele Personen stehen sollen? Trage alle Möglichkeiten in die Tabelle ein! Anzahl der Personen in einer Reihe Anzahl der Reihen Ein 1,50 m langer und 1,20 m breiter Balkon soll mit möglichst großen quadratischen Fliesen belegt werden. Dabei sollen nur ganze Fliesen verwendet werden. Die Fugenbreite kannst du bei der Berechnung vernachlässigen. Als Kantenlängen der Fliesen kommen in Frage: B O M DI 62 T44 T120 63 B O M DI 64 B O M DI 65 B O M DI 3 A 31 R 315 S 5 N 14 T 7 N B O M DI 66 67 B O M DI B O M DI 68 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

A 13 Teilbarkeit Markiere die Zahlen, die durch 3 teilbar sind, rot, die Zahlen, die durch 5 teilbar sind, blau und markiere die Zahlen, die sowohl durch 3 als auch durch 5 teilbar sind, grün! 236 425 504 513 725 735 812 831 1) Begründe, warum 7247 nicht durch 3 teilbar ist! 2) Verändere die Hunderterziffer so, dass die Zahl durch 3 teilbar wird! Gib alle Möglichkeiten an! Kreuze die richtigen Aussagen an! A 4 ! 202 B 5 ! 205 C 9 ~ 213 D 3 ~ 31 313 E 25 ! 2 552 Welche Zahlen sind keine Teiler von 504? Kreuze an! Begründe deine Antwort! 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Wähle zum Füllen der Lücken aus den angegebenen Wörtern und Zahlen die passenden aus! Die Buchstaben der nicht verwendeten Lösungsmöglichkeiten ergeben ein Lösungswort. Eine Zahl ist genau dann durch wenn 2 teilbar, an ihrer 0, 2, 4, 6 oder 8 steht. 3 teilbar, ihre durch 3 teilbar ist. 4 teilbar, die aus gebildete Zahl durch 4 teilbar ist. 5 teilbar, an ihrer Einerstelle steht. 6 teilbar, sie durch teilbar ist. 9 teilbar, ihre Ziffernsumme durch teilbar ist. 10 teilbar, an ihrer Einerstelle steht. 12 teilbar, sie durch teilbar ist. Lösungswort: __ __ __ __ __ __ a) Jede durch 6 teilbare Zahl ist auch durch 3 teilbar. Begründe die Aussage! b) Zeige durch Anführen eines Gegenbeispiels, dass nicht jede durch 3 teilbare Zahl auch durch 6 teilbar sein muss! Welche ist die kleinste fünfstellige Zahl, die durch 18 teilbar ist? Kreuze für und so an, dass eine korrekte Aussage entsteht! Eine Zahl, die durch teilbar ist, ist ebenso durch teilbar. 1 2 3 6 4 8 69 B O M DI B O M DI 70 B O M DI 71 B O M DI 72 B O M DI 73 Einerstelle O Einerziffer E 3und4 A 9 I 0 H 0oder5 W 10 I Zehnerstelle L Ziffernsumme N 3 T 2 und 6 R 2 und 5 E 2 und 3 K Zehner- und Einerstelle B B O M DI 74 75 B O M DI 76 B O M DI 2 Teilbarkeitsregeln Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

14 Teilbarkeit A Stelle fest, ob die Aussagen richtig oder falsch sind und begründe! Richtig angekreuzt ergeben die Buchstaben von oben nach unten gelesen ein Gewässer. Aussage richtig falsch Begründung 2 ! 215 A S 3 ! 491 R A 4 ! 196 A L 5 ! 785 L Z 6 ! 218 S A 9 ! 430 E C 12 ! 322 E H Lösungswort: __ __ __ __ __ __ __ Setze die entsprechenden Zahlen so ein, dass die Summen- bzw. Produktregel gilt! 4 ! 16 und 4 ! 40 w 4 ! 5 ! 50 w 5 ! 4· 9 ! 99 und ! w 9 ! 999 In einer Pyramide Ägyptens wurde bei einem Schriftzug die Zahl 2 520 gefunden. Lange Zeit wussten die Forscherinnen und Forscher nicht, was diese Zahl bedeutet. Die Antwort liegt in der Mathematik: Diese Zahl ist die kleinste Zahl, die durch alle Zahlen von 1 bis 10 teilbar ist. Begründe diese Teilbarkeiten! 1 ! 2 520, weil 6 ! 2 520, weil 2 ! 2 520, weil 7 ! 2 520, weil 3 ! 2 520, weil 8 ! 2 520, weil 4 ! 2 520, weil 9 ! 2 520, weil 5 ! 2 520, weil 10 ! 2 520, weil 77 B O M DI B O M DI 78 B O M DI 79 3 Primzahlen 1) Kreise alle Primzahlen, die kleiner als 100 sind, in der Tabelle ein! 12345678910 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 2) Suche in der Tabelle die längste Serie aufeinander folgender Zahlen, die keine Primzahlen sind! 3) Primzahlen, die sich nur um zwei unterscheiden, nennt man Primzahlzwillinge. Wie lauten die Primzahlzwillinge, die kleiner als 100 sind? Ist 127 eine Primzahl? Überprüfe die Teilbarkeit von 127 durch die dir bekannten Primzahlen 2, 3, 5 … mittels der Teilbarkeitsregeln! Bis zu welcher Primzahl musst du untersuchen? Warum? 127 ist eine Primzahl: ja nein B O M DI 80 B O M DI 81 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

A 15 Teilbarkeit 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 In nebenstehender Abbildung sind die Zahlen von 199–300 abgebildet. 1) Wende das Siebverfahren von Eratosthenes an! 2) Finde von 209 ausgehend ein Muster, um die Vielfachen von 11 zu streichen! 3) Finde von 208 ausgehend ein Muster, um die Vielfachen von 13 zu streichen! 4) Finde von 204 ausgehend ein Muster, um die Vielfachen von 17 zu streichen! 5) Schreibe die Primzahlen zwischen 200 und 300 auf! Ordne die Primfaktorzerlegung der entsprechenden Zahl zu! Zerlege in Primfaktoren! a) 36 = c) 47 = b) 39 = d) 128 = Die Zahl 3780 soll in Primfaktoren zerlegt werden. Welche der Primfaktorzerlegungen ist richtig? A 2·2·3·9·5·7 C 2·2·3·3·5·5·7 E 2·2·3·3·3·5·7 B 2·5·3·2·3·7·3 D 7·5·3·3·3·2·2 F 2·3·3·3·10·7 Ein Rechenschema zum Finden möglicher Primzahlen stammt vom französischen Mathematiker Marin Mersenne (1588–1648) und sieht vereinfacht so aus: zB 2·2 – 1 = 4 – 1 = 3 Primzahl 2·2·2 – 1 = 8 – 1 = 7 Primzahl 2·2·2·2 – 1 = 16 – 1 = 15 keine Primzahl (Weil die Anzahl der Zweier keine Primzahl ist.) Nur wenn die Anzahl der Zweier eine Primzahl ist, kann die zugehörige Zahl eine Primzahl sein (muss aber nicht). Finde mit Hilfe dieses Verfahrens eine weitere Primzahl: Welche Ziffern können zwei- oder mehrstellige Primzahlen an der Einerstelle nicht haben? Begründe! Der deutsche Mathematiker Christian Goldbach (1690–1764) vermutete, dass jede gerade Zahl größer als 2 als Summe zweier Primzahlen geschrieben werden kann (zB 42 = 37 + 5). Diese Vermutung ist bis heute weder bewiesen noch widerlegt worden. Überprüfe diese Aussage für alle geraden Zahlen bis 34! 4 = 12 = 20 = 28 = 6 = 14 = 22 = 30 = 8 = 16 = 24 = 32 = 10 = 18 = 26 = 34 = Melanie sagt: „Mein Bruder Florian ist 5 Jahre jünger als ich. Sein Alter ist eine Primzahl und mein Alter ist ein Vielfaches von 4. Nächstes Jahr ist mein Alter eine Primzahl und Florians Alter durch 6 teilbar!“ Melanie ist heute Jahre alt und ihr Bruder Florian Jahre. 82 B O M DI 83 B O M DI 2·3·5·7 65 56 75 2·2·2·7 84 3·5·5 5·13 2·2·3·7 B O M DI 84 B O M DI 85 86 B O M DI 87 B O M DI 88 B O M DI 89 B O M DI 210 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

16 Teilbarkeit A Durch welche der Zahlen ist 504 teilbar? Kreuze an! 2 3 4 5 6 Begründe mit Hilfe der Primfaktorzerlegung! 7 8 9 10 Gegeben sind die Zahlen 1 040 und 2 210. 1) Welche Teiler haben die beiden Zahlen? Bestimme dazu jeweils die Primfaktoren und bilde alle möglichen Kombinationen an Produkten dieser Faktoren! 2) Wie lautet der größte gemeinsame Teiler der beiden Zahlen? 3) Bilde das Produkt von 1 040 und 2 210! Wie lautet das kgV(1 040, 2 210)? Ein Frachtcontainer hat eine Länge von 6,0 m, eine Breite von 2,4 m und eine Höhe von 2,8 m. Eine Firma überlegt, würfelförmige Schachteln zu entwickeln, die ohne Zwischenräume in Container mit diesen Maßen geschlichtet werden können. Die größte mögliche Kantenlänge dieser Schachteln beträgt dm. Die vier Geschwister Maxi, Sabine, Alex und Gustav teilen sich die Hausarbeit. Maxi muss alle 2 Tage abtrocknen, Sabine alle 3 Tage den Geschirrspüler ausräumen, Alex alle 4 Tage staubsaugen und Gustav alle 6 Tage das gemeinsame Zimmer aufräumen. Angenommen heute verrichten alle vier ihre Hausarbeit. Nach wie vielen Tagen verrichten das nächste Mal wieder alle am gleichen Tag ihre Aufgabe? Nach A 6 Tagen B 8 Tagen C 12 Tagen D 18 Tagen E 24 Tagen In einer Gemeinde wird der Altpapiercontainer alle 2 Wochen entleert. Der Gelbe Sack wird hingegen alle 10 Tage abgeholt. Der Restmüll wird jede Woche von der Müllabfuhr entsorgt und die Biotonne jeden dritten Tag. Angenommen heute wurden alle 4 Müllsorten entsorgt: Wie viele Wochen dauert es, bis das wieder am selben Tag passiert? Kreuze an! A 2 Wochen B 5 Wochen C 10 Wochen D 20 Wochen E 30 Wochen An einem Bahnhof kommen an Werktagen zwischen 7 Uhr und 9 Uhr sehr viele Menschen an. Daher ist man bemüht, den Fahrplan so zu gestalten, dass die Züge aus beiden Richtungen nicht gleichzeitig an diesem Bahnhof ankommen. Die Züge aus der einen Richtung haben ein Zugintervall von 8 min, gerechnet von 7:00 Uhr an, die Züge aus der anderen Richtung ein Intervall von 9 min, gerechnet von 7:01 Uhr an. Gibt es trotzdem einen Zeitpunkt, in dem Züge aus beiden Richtungen gleichzeitig ankommen? Wenn ja, wann ist das der Fall? Um Uhr kommen Züge aus beiden Richtungen gleichzeitig an. B O M DI 90 91 B O M DI 92 B O M DI B O M DI 93 B O M DI 94 B O M DI 95 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

17 A Merkenswertes Wähle zum Füllen der Lücken aus den rechts stehenden Wörtern die passenden aus! Verbinde die Zahlen im Lösungsbild in der Reihenfolge der Lücken! Teiler und Vielfache Die Zahl t ist der Zahl a, wenn a durch t ohne teilbar ist. Ist die Zahl t ein Teiler der Zahl a, dann ist a ein der Zahl t. 1 und a nennt man Teiler der Zahl a; die übrigen Teiler heißen Teiler von a. Der zweier oder mehrerer Zahlen teilt nicht nur jede dieser Zahlen, sondern er ist unter den gemeinsamen Teilern der . Das zweier oder mehrerer Zahlen ist nicht nur Vielfaches jeder dieser Zahlen, sondern es ist unter den gemeinsamen Vielfachen das . Teilbarkeitsregeln Ist die Zahl t Teiler zweier Zahlen a und b, dann ist t auch Teiler der a + b und der a – b dieser Zahlen. Multipliziert man das kgV und den ggT zweier Zahlen a und b, so erhält man das der Zahlen a und b. Teilt die Zahl t die Zahl a, dann teilt t auch dieser Zahl a. Ob eine Zahl durch 2, 5 oder 10 teilbar ist, ist nur von der abhängig. Ob eine Zahl durch 3 oder 9 teilbar ist, ist nur von der abhängig. Primzahlen Natürliche Zahlen (> 1), die nur unechte Teiler haben, heißen . 1 ist keine Primzahl. Wenn eine Zahl auch echte Teiler hat, spricht man von einer Zahl. Es gibt Primzahlen. Jede Zahl > 1 kann als von Primzahlen geschrieben werden und diese Primfaktorzerlegung ist bis auf die Reihenfolge . größte 6 Teiler 23 kgV 12 echte 24 Rest 11 ggT 9 unechte 15 Vielfaches 10 kleinste 20 endliche viele 5 Zehnerstelle 16 jedes Vielfache 17 Differenz 14 Summe 19 Einerstelle 13 Ziffernsumme 2 Produkt 1 Produkt 8 unendlich viele 22 eindeutig 3 zusammengesetzten 23 Primzahlen 4 Zerlegung 2 19 6 24 9 15 10 3 20 12 18 21 5 14 17 1 2 13 4 22 23 11 16 8 7 Lösungsbild: ___________ Merkenswertes Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

18 Ganze Zahlen B Markiere am Thermometer die jeweilige Temperatur! 1) ‒8° C 2) 3° C 3) 2° C unter Null 4) 15° C über Null 5) 10° wärmer als ‒3° C In der iranischen Wüste wurde im Jahr 2017 mit 78° C die höchste jemals auf der Erde gemessene Temperatur registriert; die tiefste Temperatur von fast ‒99° C wurde 2004 in der Antarktis gemessen. 2018 wurde dieser Wert bestätigt. Der Temperaturunterschied beträgt ° C. Der Wiener Gerd Winkler schaffte es im Jahr 2006 mit dem Fahrrad vom tiefsten Punkt der Erdoberfläche, dem Toten Meer (‒422 m Seehöhe), bis nach Nepal zu fahren und in der Folge den höchsten Punkt der Erde, den Mount Everest (8 848 m Seehöhe) zu besteigen. Warum nannte er dieses Unternehmen „9 000 +“? Welchen Höhenunterschied hat er überwunden? Ötzi, der Mann vom Hauslabjoch in den Ötztaler Alpen, lebte um 3 200 v.Chr. Um 2 500 v.Chr. wurden in Ägypten die berühmten Pyramiden gebaut. Kreuze die richtigen Aussagen an! A Ötzi hätte auf einer Ägyptenreise die Pyramiden bewundern können. B Zur Zeit des Ötzi gab es in Ägypten noch keine der großen Pyramiden. C Seit dem Bau der ägyptischen Pyramiden sind bis heute mehr Jahre vergangen als seit der Zeit, in der Ötzi lebte. D Der Bau der ägyptischen Pyramiden erfolgte mehrere Jahrhunderte später als Ötzi lebte. Welche ganzen Zahlen sind auf der Zahlengeraden durch Kreuze markiert? a) 0 +10 –10 b) 0 4 6 8 –6 –2 c) –35 –30 –25 –20 –15 –10 –5 Kennzeichne auf der Zahlengeraden die Zahlen durch Kreuze! Wähle eine geeignete Einheitsstrecke! a) ‒50, ‒10, 0, 20, 30, 60 b) ‒15, ‒5, 5, 10, 20 c) ‒200, ‒150, 0, 100 Wie lauten Vorgänger und Nachfolger der Zahl im Bereich der ganzen Zahlen? a) Vorgänger von 5: ; Nachfolger von 5: c) Vorgänger von 0: ; Nachfolger von 0: b) Vorgänger von ‒5: ; Nachfolger von ‒5: d) Vorgänger von ‒1: ; Nachfolger von ‒1: B O M DI 96 0 10 20 30 °C –10 B O M DI 97 98 B O M DI 99 B O M DI B O M DI 100 B O M DI 101 B O M DI 102 1 Einführung der ganzen Zahlen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

B 19 Ganze Zahlen Welche ganzen Zahlen sind gemeint? Ordne richtig zu! a) 1 z < 3 A ℤ‒ b) 1 {0, 1, 2, 3, …} A ‒4 < z < 3 2 z < ‒3 B {…, ‒6, ‒5, ‒4} 2 {‒3, ‒2, …, 1, 2} B z ≤ 1 3 z < 0 C {…, 0, 1, 2} 3 {…, ‒5, ‒4, ‒3} C z < 0 4 z > ‒3 D {‒3, ‒2, ‒1, …} 4 {…, ‒3, ‒2, ‒1} D z ≥ 0 5 z ≥ ‒3 E {‒2, ‒1, 0, …} 5 {…, ‒1, ‒2, 0, 1} E z ≤ ‒3 Ordne die ganzen Zahlen aufsteigend der Größe nach! Kreuze an, ob das Zeichen < bzw. > korrekt eingesetzt wurde! Es ergibt sich ein Lösungswort. a) richtig falsch b) richtig falsch ‒3 > ‒2 Y P ‒3 * ℤ+ P S ‒10 < 10 R I ‒1 * ℤ U P 0 > ‒2 I S ‒3 * ℤ‒ P E ‒4 < ‒1 M T ‒5 * ℕ P E ‒8 < ‒7 A E 3 + ℤ+ E R Lösungswort: a) __ __ __ __ __ b) __ __ __ __ __ 103 B O M DI 104 B O M DI –3 –11 21 12 13 3 11 –1 –18 105 B O M DI Berechne die Ergebnisse! Die Buchstaben neben den Ergebnissen zeigen dir Saras Urlaubsort! A ‒5 + 3 = E ‒12 + 22 = B ‒11 + 10 = F ‒13 – 20 = C ‒4 + 13 = G ‒27 + 35 = D 2 – 7 = H 13 – 17 = Welche Zahl musst du addieren, um Null zu erhalten? Lösungswort: __ __ __ __ __ __ __ __ a) ‒5 + = 0 b) ‒13 + = 0 c) ‒20 + = 0 d) ‒a + = 0 Gib die größte Zahl an, die du zur gegebenen addieren kannst, um ein Ergebnis aus ℤ‒ zu erhalten! a) ‒13 + b) ‒1 + c) ‒z + d) ‒z + 3 + Berechne die Ergebnisse! a) ‒6 – 7 = b) 23 – 29 = c) ‒38 + 45 = d) 16 – 34 = 106 B O M DI ‒4 D 2 O ‒5 N 9 N 0 R ‒33 A 8 N ‒1 I ‒7 M ‒2 F 10 L B O M DI 107 108 B O M DI B O M DI 109 2 Addieren und Subtrahieren Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

20 Ganze Zahlen B Maria hatte 800 € Schulden. Nach Überweisung des Monatsgehaltes auf ihr Konto hat sie doppelt so viel Guthaben, wie sie vorher Schulden hatte. Wie hoch ist ihr Gehalt? Kreuze an und begründe deine Antwort! In der Tabelle sind die gerundeten geographischen Längen und Breiten der nördlichsten, östlichsten, südlichsten und westlichsten Punkte des europäischen Festlandes angegeben. Gib die Längen- und Breitenausdehnung des europäischen Festlandes in Grad an! Schau auch im Atlas nach! Ort Staat geographische Länge geographische Breite Nordkap Norwegen 25° 72° Uralgebirge Russland 60° 50°– 67° Gibraltar Großbritannien (Iberische Halbinsel) ‒5° 36° Kap Rocca Portugal ‒10° 38° Europäisches Festland: West-Ost-Ausdehnung: ° Nord-Süd-Ausdehnung: ° In den Naturwissenschaften wird die Temperatur nicht in Grad Celsius (°C), sondern in Kelvin (K) angegeben. Dabei gilt K ≈ °C + 273 mit dem absoluten Nullpunkt 0 K ≈ ‒273 °C, der tiefsten theoretisch möglichen Temperatur. Die Tabelle zeigt die Schmelzpunkte verschiedener chemischer Elemente (Stoffe). Vervollständige sie! chemisches Element (Stoff) °C K chemisches Element (Stoff) °C K Wasser 0 273 Uran 640 Helium 1 Gold 1 064 Sauerstoff ‒218 Eisen 1 808 Quecksilber ‒39 Kohlenstoff 3 500 Stelle die Rechnung am Zahlenstrahl dar! a) ‒3 + 4 b) 10 – 12 c) ‒1 – 3 1) Wie groß darf der Subtrahend höchstens sein, um eine positive Differenz zu erhalten? 2) Wie groß muss der Subtrahend mindestens sein, um eine negative Differenz zu erhalten? a) 15 1) b) 33 1) c) 1 1) d) z 1) 2) 2) 2) 2) In der Tabelle findest du alle Ein- bzw. Auszahlungen auf Maries Konto im Monat Oktober. Berechne jeweils den Kontostand! In welchem Zeitraum hatte Marie ihr Konto überzogen? 1. 10. 5. 10. 7. 10. 17. 10. 20. 10. 22. 10. 28. 10. Eingang – – 40 € – – 440 € Ausgang – 120 € – 540 € – 30 € – Kontostand 220 € ‒120 € 110 B O M DI A 30 € D 800 € B 1 200 € E 1 600 € C 2 400 € F 3 200 € 111 B O M DI B O M DI 112 113 B O M DI 114 B O M DI B O M DI 115 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

21 Merkenswertes B Wähle zum Füllen der Lücken aus den rechts stehenden Wörtern die passenden aus! Verbinde die Zahlen im Lösungsbild in der Reihenfolge der Lücken! Eigenschaften ganzer Zahlen Die negativen ganzen Zahlen, die Zahl und die ganzen Zahlen bilden gemeinsam die Menge der ganzen Zahlen = {…, ‒ 3, ‒2, ‒1, 0, 1, 2, 3, …}. Jede ganze Zahl kann auf einer veranschaulicht werden. Jede Zahl entspricht genau einer auf der Zahlengeraden. Dabei hat jede ganze Zahl genau Vorgänger und genau einen . Je weiter eine Zahl auf der Zahlengeraden ist, desto ist sie. So lassen sich ganze Zahlen . Die ganzen Zahlen ℤ‒ sind alle kleiner null, die positiven ganzen Zahlen sind alle null. Addieren und Subtrahieren Eine natürliche Zahl n wird zu einer ganzen Zahl z , indem man auf der Zahlengeraden von der Zahl aus n Schritte nach geht. Eine Zahl n aus ℕ wird von einer ganzen Zahl z , indem man auf der Zahlengeraden von der Zahl z aus Schritte nach links geht. Addiert man zu einer null, so ändert sich der Wert . Subtrahiert man von einer Zahl null, so ist die Differenz gleich dem . 2 29 ganze 28 –4 12 0 5 einen 3 1 24 größer 14 kleiner 1 addiert 10 n 2 Zahl 0 Nachfolger 13 links 8 nicht 9 Minuenden 22 positiven 11 ordnen 7 negativen 6 subtrahiert 21 Zahlengeraden 4 z 26 rechts 19 Z+ 23 Stelle 15 Z 20 22 9 2 5 27 21 0 24 19 18 26 25 14 20 11 29 10 23 6 16 17 12 7 1 8 13 3 4 15 28 30 31 Lösungsbild: ______________________ Merkenswertes Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

22 Bruchzahlen und Bruchrechnen C In den folgenden Darstellungen sind Bruchteile eines Ganzen färbig gekennzeichnet. Ordne diesen Bruchteilen die Brüche 6 __ 16 , 8 __ 18 , 1 _ 2 und 5 _ 8 zu! Constance hat 15 Mitschüler und 8 Mitschülerinnen. 1) In diese Klasse gehen insgesamt Kinder. 2) Der Bruchteil der Buben in dieser Klasse ist . 3) Der Bruchteil der Mädchen in dieser Klasse ist . Ein Haus besteht aus dem Erdgeschoss und 5 Stockwerken. Karin muss in den 5. Stock gehen. Sie befindet sich gerade in der Mitte zwischen dem 3. und 4. Stockwerk. 1) Welchen Bruchteil der Treppenhöhe des Hauses hat Karin schon hinter sich? 2) Welchen Bruchteil der Treppenhöhe des Hauses muss Karin noch bewältigen? Teile den Kreis in gleich große Teile! Wie groß ist in diesen Fällen jeweils der Zentriwinkel α der einzelnen Kreisausschnitte? a) 4 gleiche Teile b) 6 gleiche Teile c) 8 gleiche Teile α = ° α = ° α = ° Welche der Massenangaben rechts gehören zusammen? Schreibe als Bruch! 4 1 _ 2 = 3 2 _ 5 = 6 1 _ 4 = 7 4 _ 5 = Welche Dezimalzahl entspricht welchem Bruch? 1 _ 2 = 2 _ 3 = 3 _ 4 = 1 1 _ 4 = 3 _ 5 = 2 _ 6 = 3 _ 8 = 7 __ 10 = 1 3 __ 10 = 4 __ 20 = 0,2 0, _ 3 0,375 0,5 0,6 0, _ 6 0,7 0,75 1,25 1,3 Schreibe die Dezimalzahl in Bruchschreibweise! a) 0,4 = c) 0,37 = e) 0,375 = g) 0, __ 4 = b) 0,75 = d) 0,103 = f) 1,13 = h) 0, ___ 25  = Unter den folgenden Zahlen stellen fünf dieselbe Bruchzahl dar. Welche sind das? Kreuze an! 0,3 1 _ 3 30 ___ 100 30 __ 10 0,30 3 __ 10 0,03 9 __ 12 3 __ 27 6 __ 20 0, _ 3 Wie lauten die Brüche in Dezimalschreibweise? Markiere alle Dezimalzahlen mit endlich vielen Nachkommastellen in Blau, alle periodischen in Rot! Bruchform 1 _ 2 1 _ 3 1 _ 4 1 _ 5 1 _ 7 1 _ 8 1 _ 9 1 __ 10 Dezimalschreibweise 116 B O M DI 117 B O M DI 118 B O M DI B O M DI 119 120 B O M DI 3 _ 5 kg 7 __ 10 kg 3 _ 4 kg 1 _ 2 kg 70 dag 50 dag 60 dag 75 dag B O M DI 121 122 B O M DI B O M DI 123 124 B O M DI B O M DI 125 1 Brüche und Bruchzahlen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

C 23 Bruchzahlen und Bruchrechnen Je eine grüne und eine graue Zahl haben denselben Wert. Verbinde die Paare! Samuel möchte Getränke für seine fünf Freunde und sich mixen. Das Rezept gibt die benötigte Menge pro Person an. Gib an, welche Menge Samuel pro Zutat benötigt! Kürze dabei soweit wie möglich! a) Orangenlimonade: 1 _ 4 Liter Wasser, 1 __ 10 Liter Orangensaft, 1 __ 12 kg Zucker b) Erdbeershake: 1 _ 5 kg Erdbeeren, 1 _ 4 Liter Milch, 1 _ 2 EL Joghurt, 1 _ 8 einer reifen Banane c) grüner Smoothie: 1 _ 3 einer Banane, 1 _ 2 Kiwi, 1 _ 8 kg Gurke, 1 __ 50 kg frischer Spinat Zerlege Zähler und Nenner jeweils in Primfaktoren und kürze dann! a) 24 __ 36 = = b) 32 __ 72 = = c) 50 __ 40 = = d) 36 __ 27 = = Erweitere alle Brüche auf den angegebenen Nenner! a) 3 __ 2 , 1 __ 4 , 3 __ 4 auf Achtel b) 1 __ 2 , 4 __ 5 , 8 __ 5 auf Zehntel c) 5 __ 6 , 2 __ 3 , 9 __ 10 auf Dreißigstel Irene soll in einer Pizzeria 2 Pizzen kaufen und gleich in 1 _ 8 -Pizza-Stücke teilen lassen. Irene bringt insgesamt 1 _ 8 -Pizza-Stücke nach Hause. Welche Zahlen sind am Zahlenstrahl markiert? a) 0 1 2 b) 1 2 Wähle jeweils den geeigneten Zahlenstrahl, um die folgenden Bruchzahlen darzustellen! Markiere sie anschließend! 3 _ 4 und 1 _ 2 2 _ 3 und 5 _ 6 1 _ 2 und 4 _ 5 1 _ 3 und 1 _ 4 0 1 0 1 0 1 0 1 Ordne die angegebenen Bruchzahlen! Gib an, wie du vorgegangen bist! a) 3 __ 5 , 1 __ 2 , 2 __ 3 , 3 __ 7 : b) 6 __ 7 ; 4 __ 5 ; 8 __ 9 : c) 27 __ 13 , 8 __ 7 , 3 __ 4 : Gib fünf Bruchzahlen an, die zwischen den gegebenen liegen! a) 1 _ 5 3 _ 5 b) 1 _ 4 3 _ 8 c) 4 _ 9 4 _ 7 Welche Bruchzahl liegt genau in der Mitte zwischen den beiden Bruchzahlen? Kreuze an! a) 6 __ 13 , 12 __ 13 A 8 __ 13 B 9 __ 13 C 10 __ 13 b) 2 _ 3 , 4 _ 5 A 11 __ 15 B 12 __ 15 C 13 __ 15 126 B O M DI 12 __ 9 1,30 0,35 2 _ 5 5 _ 4 3 _ 8 4 _ 3 6 __ 16 1 3 __ 10 35 ___ 100 1,25 0,4 127 B O M DI 128 B O M DI 129 B O M DI 130 B O M DI 131 B O M DI 132 B O M DI 133 B O M DI 134 B O M DI 135 B O M DI Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

24 Bruchzahlen und Bruchrechnen C Wie viel(e) ist (sind) das? a) 1 __ 10 der Obstlieferung von 600 kg waren verdorben. kg b) 3 __ 10 von 150 000 Personen geben an, regelmäßig ins Kino zu gehen. Personen c) 1 _ 4 der 24 Schülerinnen und Schüler der 2B-Klasse sind jünger als 11 Jahre. Schüler d) An 3 _ 4 der 36 Urlaubstage schien die Sonne. Tage e) 2 _ 5 der 1 000 000 Wählerinnen und Wähler wählten die Partei X. Wählerinnen und Wähler f) Beim Einkauf von Waren um 50 € erhält man heute einen Preisnachlass von 1 __ 20 . € g) Alle 583 Schülerinnen und Schüler einer Schule waren heute in der Schule. Schülerinnen und Schüler h) Von den 500 € Bruttokosten einer Ware hebt der Staat 1 _ 5 Mehrwertsteuer ein. € Von einem Grundstück sind 250 m2 verbaut und 750 m2 Garten. Der relative Anteil des verbauten Teiles beträgt 1) in Bruchform: 2) in Dezimalschreibweise: 3) in Prozentschreibweise: . Die größte Glocke Österreichs, die Pummerin im Dom zu St. Stefan in Wien, hat eine Masse von 21 383 kg. Das Material der Glocke ist Glockenbronze aus Kupfer und 11 __ 50 Zinn. 1) Wie groß ist der Kupferanteil? 2) Rund wie viel Kilogramm Kupfer bzw. Zinn sind in der Glocke verarbeitet? Kupfer: Zinn: Die Längen der größten Ströme in den einzelnen Erdteilen (ausgenommen Antarktis) sind in der Tabelle näherungsweise angeführt. Die Brüche geben das Verhältnis der jeweiligen Flusslänge zur Länge der Wolga (3 530 km) an. Rund wie viel Kilometer sind die Flüsse lang? Runde auf Zehner! Erdteil Fluss Verhältniszahl Länge des Stromes Afrika Nil + Kagera 17 __ 9 Südamerika Amazonas + Ucayali + Apurimac 11 __ 6 Asien Jangtsekiang + Tongtian He 9 _ 5 Nordamerika Mississippi + Missouri + Red Rock 17 __ 10 Australien Murray + Darling + Culgoa 25 __ 24 Bemerkung: ZB ist der Kagera ein Quellfluss des Nil, der die Gesamtlänge des Nil verlängert. Daher ist Nil + Kagera angegeben. Eine Spiegelreflexkamera kostete ursprünglich 650 €. Christian, der diese Kamera gerne haben möchte, bekam von seinem Vater den Rat, mit dem Kauf etwas zuzuwarten. Tatsächlich wurde sie nach einem Jahr um 1 _ 5 des ursprünglichen Preises billiger. Schließlich wurde sie im Sonderangebot nochmals um 1 _ 4 des Letztpreises verbilligt. Jetzt hat Christian die Kamera gekauft und Euro bezahlt. Der Preis der Kamera betrug schließlich den Bruchteil von des ursprünglichen Preises. In einer Wanderkarte mit dem Maßstab 125 000 ist der Weg vom Preiner Gscheid zum Karl-Ludwig-Haus auf der Rax mit den vielen „Schlangen“-Windungen rund 14 cm lang dargestellt. Wie lang ist die Strecke in der Wirklichkeit? Kreuze an! A rund 2,5 km B rund 3,5 km C rund 5 km D rund 7km E rund 7,5 km 136 B O M DI 137 B O M DI 138 B O M DI 139 B O M DI 140 B O M DI 141 B O M DI 2 Anwenden und Deuten von Brüchen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

C 25 Bruchzahlen und Bruchrechnen Helmuts Mutter war bei seiner Geburt 30 Jahre alt. Wie verhält sich Helmuts Alter zum jeweiligen Alter seiner Mutter? Schreibe diese Bruchzahl mit möglichst kleinen natürlichen Zahlen! 2 Jahre nach seiner Geburt: 30 Jahre nach seiner Geburt: 5 Jahre nach seiner Geburt: 40 Jahre nach seiner Geburt: 10 Jahre nach seiner Geburt: 50 Jahre nach seiner Geburt: 20 Jahre nach seiner Geburt: 60 Jahre nach seiner Geburt: Peter möchte ein Glücksrad basteln. Dabei soll die Farbe Gelb symbolisieren, dass man gewonnen hat, die Farbe Grün, dass man nochmals drehen darf, die Farbe Rot, dass man seinen Einsatz zurück bekommt und die Farbe Blau, dass man verloren hat. Peter möchte, dass folgende relative Anteile vorkommen: Gewinn: 1 __ 10 , nochmals drehen: 2 _ 5 , Einsatz zurück: 1 _ 4 . 1) Wie groß ist der relative Anteil, dass man verliert? 2) Zeichne ein mögliches Glücksrad rechts! 142 B O M DI 143 B O M DI Stelle in der Figur die Rechnung durch Anmalen der entsprechenden Bruchteile dar! Überprüfe das Ergebnis durch Rechnen! a) b) 3 _ 5 + 1 __ 10 = 7 _ 8 – 3 _ 4 = Färbe im rechts dargestellten Rechteck 1 _ 3 grün und 3 _ 8 blau! Welcher Bruchteil des Rechtecks bleibt weiß? Überprüfe durch Rechnen! Bücher Lernbehelfe Gutscheine E-BOOKs Nieten Bei einem Schulfest werden Lose verkauft. Im nebenstehenden Kreisdiagramm ist die Verteilung der Lose mit Gewinn (Bücher, Lernbehelfe, Gutscheine, E-BOOKs) und Nieten (= Lose ohne Gewinn) dargestellt. 1) Wie hoch ist der Anteil der Nieten? 2) Führe die Probe durch, indem du die Anteile der Gewinne berechnest! Erklimme die Zahlenpyramide bis zur Spitze! Addiere dazu nebeneinander stehende Bruchzahlen! a) 1 __ 10 1 _ 5 1 _ 2 1 __ 15 b) 1 _ 8 1 _ 2 1 _ 3 1 _ 6 1 _ 8 144 B O M DI 145 B O M DI 146 B O M DI 147 B O M DI 3 Rechnen mit Bruchzahlen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

26 Bruchzahlen und Bruchrechnen C a) Trage in jedem Stein die Summe der beiden unmittelbar darunter liegenden Steine ein! b) Trage in jedem Stein die Differenz der beiden unmittelbar darunter liegenden Steine ein! 2 11 8 1 1 2 1 8 3 1 3 8 3 4 1 8 Überprüfe die Rechnungen und korrigiere die Fehler! Sind deine Antworten richtig, ergeben die Buchstaben von oben nach unten gelesen ein Lösungswort. richtig falsch Korrektur A 3 _ 5 + 1,2 – 1 1 _ 2 = 0,4 S T B 1 1 _ 3 + 2 5 _ 6 + 1 _ 2 = 4 2 _ 3 E R C 2 _ 3 + 1 1 _ 4 – 1 _ 2 > 1 N A D 5 1 _ 4 – 3 5 _ 8 – 1 1 _ 2 = 0 S N E 2 1 _ 5 – 1 1 _ 2 + 0,8 < 2 E K Lösungswort: __ __ __ __ __ Ordne jeder Rechnung das richtige Ergebnis zu! a) 1 _ 6 1 1 5 _ 6 2 2 _ 3 2 2 _ 3 – ( 1 1 _ 4 – 5 _ 6 ) + 5 __ 12 = 2 2 _ 3 – ( 1 1 _ 4 – 5 _ 6 + 5 __ 12 ) = ( 2 2 _ 3 – 1 1 _ 4 – 5 _ 6 ) + 5 __ 12 = ( 2 2 _ 3 – 1 1 _ 4 ) – ( 5 _ 6 + 5 __ 12 ) = b) 3 1 _ 2 – 1 2 _ 4 – 1 _ 3 + 1 1 _ 3 = ( 3 1 _ 2 – 1 2 _ 4 ) – ( 1 _ 3 + 1 1 _ 3 ) = 3 1 _ 2 – ( 1 2 _ 4 – 1 _ 3 ) + 1 1 _ 3 = 3 1 _ 2 – ( 1 2 _ 4 – 1 _ 3 + 1 1 _ 3 ) = 1 3 2 _ 3 1 _ 3 3 Messing ist eine Legierung aus Kupfer und Zink. Eine Messing-Armatur besteht zu 2 _ 5 aus Zink und zusätzlich 3 ___ 100 Blei. Der Anteil an Kupfer ist . Mineralwasser wird häufig in 1 1 _ 2 -Liter-Flaschen abgefüllt. Oft kann man ein Paket mit sechs solchen Flaschen kaufen. 6 Flaschen enthalten insgesamt Liter Mineralwasser. Vervielfache die Bruchzahl mit dem angegebenen Faktor! ·2 ·3 ·5 ·7 ·10 2 __ 3 3 __ 5 5 __ 7 Berechne! a) 3 _ 4 ·2 = b) 3 _ 4 2 = c) 5·  2 _ 5 = d) 5  2 _ 5 = e) 2 _ 3 · 3 _ 5 = f) 2 _ 3   3 _ 5 = 148 B O M DI 149 B O M DI 150 B O M DI 151 B O M DI B O M DI 152 153 B O M DI 154 B O M DI Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

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