44 Rationale Zahlen B 1 1.1 Einführung der rationalen Zahlen Johanna und Anjun haben bereits in der 2. Klasse die ganzen Zahlen kennen gelernt und erinnern sich, dass zu jeder positiven ganzen Zahl eine negative Gegenzahl existiert und umgekehrt. „Hat die Dezimalzahl 2,8 auch eine Gegenzahl?“ fragt Anjun. Johanna meint: „Das muss dann ‒2,8 sein. Es gibt also auch negative Dezimalzahlen.“ Die beiden erinnern sich, dass sie bisher Dezimalzahlen auch als Bruch dargestellt haben. 2,8 = 2 ___ ; die Gegenzahl davon ist also ‒2 ___ . Die positiven und die negativen Dezimalzahlen bilden zusammen mit der Zahl Null die Menge der rationalen Zahlen. Diese Zahlenmenge wird mit dem Symbol ℚ (angelehnt an Quotient) bezeichnet. ℚ = { a _ b 1 a, b * ℤ, b ≠ 0 } ist die Menge der rationalen Zahlen. Das bedeutet: Die Menge der rationalen Zahlen besteht aus allen Zahlen, die als Bruch a _ b geschrieben werden können, wobei der Zähler a und der Nenner b ganze Zahlen sind und der Nenner b nicht null sein darf. ℚ + Menge der positiven rationalen Zahlen: a _ b > 0 (b ≠ 0) ℚ − Menge der negativen rationalen Zahlen: a _ b < 0 (b ≠ 0) In Abschnitt A haben wir gesehen, dass jede natürliche Zahl auch eine ganze Zahl ist. Jede ganze Zahl (zB ‒5 oder +3) kann immer als Bruch dargestellt werden ( zB ‒ 5 __ 1 oder + 6 ___ 2 ). Daher ist jede ganze Zahl auch eine rationale Zahl. Allerdings gilt dies nicht umgekehrt (zB ‒ 5 __ 2 ist eine rationale Zahl, aber keine ganze Zahl). In der Abbildung rechts wird dies durch ein Mengendiagramm veranschaulicht. 1) Kreuze alle rationalen Zahlen an, die kleiner als ‒1 sind! 2) Schreibe die Zahlen als Dezimalzahl! A ‒ 7 __ 3 B +7 ___ 2 C 5 __ ‒4 D +8 ___ ‒9 E ‒4 __ ‒2 F ‒1 __ 5 1) Begründe, warum der Bruch ‒ 1,3 __ 3,9 keine rationale Zahl darstellt! 2) Warum ist die Zahl ‒ 1,3 __ 3,9 trotzdem eine rationale Zahl? Gib eine korrekte Bruchschreibweise an! Zu welchen Zahlenmengen (N, Z, Q) gehören folgende Zahlen? a) 3,5 c) +5 e) ‒ 6 __ 2 b) ‒8 d) 5 __ 5 f) ‒ 2 __ 3 interaktive Vorübung 58879h AH S. 16 Eine rationale Zahl kann immer als Bruch (Quotient) dargestellt werden, wobei Zähler und Nenner ganze Zahlen sind: a __ b (a, b * Z, b ≠ 0). Jede natürliche Zahl ist auch eine ganze Zahl und jede ganze Zahl ist auch eine rationale Zahl. Rationale Zahlen 160 B O M DI 161* B O M DI * Sprachliche Bildung und Lesen 162 B O M DI Manche Zahlen gehören zu mehreren Zahlenmengen (➞ Abbildung oben). Tipp 1 Rationale Zahlen Z Q N Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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