Wachstums- und Abnahmeprozesse G 2 164 2.2 Zinseszinsen Irenes Vater legt Anfang Jänner 6 000 € auf ein Sparbuch mit 20 % p. a. Nettoverzinsung. Das ist ein unrealistischer Zinssatz. Wir verwenden ihn hier aber, weil dann der Effekt deutlicher zu sehen ist. Die anfallenden Zinsen werden jedes Jahr am Jahresende zum Kapital addiert. Im nächsten Jahr wird dann das um die tatsächlich anfallenden Zinsen vermehrte Kapital verzinst. Wir sprechen von Zinseszinsen, weil die Zinsen des 1. Jahres im 2. Jahr selbst wieder Zinsen bringen usw. Die Tabelle zeigt den Guthabenstand von Irenes Vater nach 1 Jahr, 2 Jahren, 3 Jahren und 4 Jahren sowie die in dieser Zeit tatsächlich anfallenden Zinsen. Vervollständige die Tabelle! Zeit Guthaben Zinsen Einzahlungszeitpunkt 6 000 € 0 € Nach 1 Jahr 6 000 € · 1,2 = 7 200 € 1 200 € Nach 2 Jahren 7 200 € · 1,2 = 8 640 € 2 640 € Nach 3 Jahren 8 640 € · 1,2 = € € Nach 4 Jahren € · 1,2 = € € Bezeichnen wir das Anfangskapital mit K0, den Guthabenstand nach 1 Jahr mit K1, den nach 2 Jahren mit K2, …, den nach n Jahren mit Kn, so gilt: Nach 1 Jahr: K1 = K 0 + K 0· p ___ 100 = K0· ( 1 + p ___ 100 ), dabei wurde K0 herausgehoben. Nach 2 Jahren: K2 = K 1 + K1· p ___ 100 = K1· ( 1 + p ___ 100 ) = K0· ( 1 + p ___ 100 ) · ( 1 + p ___ 100 ) = K0· ( 1 + p ___ 100 ) 2 . … Nach n Jahren: Kn = K0· ( 1 + p ___ 100 )· ( 1 + p ___ 100 )·…· ( 1 + p ___ 100 ) = K0· ( 1 + p ___ 100 ) n . Wenden wir jetzt für obiges Beispiel die Zinseszinsformel an, so gilt: K 4 = 6 000 €·1,2 4 = 12 441,60 €. Die Aufgaben können graphisch mit Hilfe eines Tabellenkalkulationsprogramms bearbeitet werden. Eine Anleitung findest du im Technologieteil auf Seite 179. Zeichne einen Graphen, der die Zinseszinsen nach dem 1., 2., 3., …, 6. Jahr pro Jahr für die ersten sechs Jahre zeigt! Fertige dazu eine Tabelle wie oben an! Verbinde die Punkte zu einer Kurve! a) K 0 = 10 €, p % = 30 % b) K 0 = 20 €, p % = 15 % c) K 0 = 30 €, p % = 12 % Jahre 0 16 000 14 000 12 000 10 000 8 000 6 000 4 000 2 000 1 2 3 4 5 Kapital in € + 20 % (mal 1,2) + 20 % (mal 1,2) + 20 % (mal 1,2) + 20 % (mal 1,2) mal 1,24 A B C D E F n Mal Die Zinseszinsformel für den tatsächlichen Guthabenstand nach n Jahren lautet: K n = K0·( 1 + p _____ 100 ) n = K 0·q n. Der Faktor q = 1 + p _____ 100 wird Aufzinsungsfaktor genannt. Zinseszinsen Wähle __ 01 š 1 Jahr auf der x-Achse und __ 01 š 2 € auf der y-Achse! Tipp 714 * B O M DI * Informatische Bildung Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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