F 4 Verhältnisgleichungen Olivia und ihre Mutter sehen im Kino einen Film im Breitbild-Format. Olivia weiß, dass das Seitenverhältnis der Leinwand dabei 219 ist. Ihre Mutter erklärt: „Das bedeutet, dass sich die Breite des Bildes und die Höhe des Bildes wie die Zahlen 21 zu 9 verhalten.“ Bevor der Film beginnt, schätzt Olivia mit Hilfe von Schritten die Breite der Leinwand ab – sie beträgt etwa 16 m. Wie hoch muss die Leinwand dann sein? Sie überlegt: Das Verhältnis der Breite zur Höhe der Leinwand muss 219 sein, also 9 = 16h, in Bruchschreibweise 21 __ 9 = 16 __ h . Um die Höhe herauszufinden, muss Olivia diese Gleichung umformen. Dazu multipliziert sie nacheinander mit den Nennern bzw. h: 21 __ 9 = 16 __ h |·9 É 21 = 9· 16 __ h !·h É = 9·16 Aus dieser Gleichung kann Olivia die Unbekannte h ermitteln. Sie dividiert durch und erhält für die Höhe der Kinoleinwand h = m. Eine Gleichung der Art 21 __ 9 = 16 __ h bzw. 219 = 16h nennt man Verhältnisgleichung oder Proportion. Mit Hilfe von Äquivalenzumformungen lassen sich solche Verhältnisgleichungen lösen. Unbekannte im Zähler Beispiel: a _ 3 = 4 _ 9 ! ·3 É a = 12 __ 9 = 4 _ 3 (Multiplikation mit Nenner) Unbekannte im Nenner Beispiel: 16 __ 9 = 10 __ h Verhältnisse dürfen „umgedreht“ werden: „Das Verhältnis Breite zu Höhe ist wie 169“ ist gleichbedeutend mit: „Das Verhältnis Höhe zu Breite ist wie 916.“ Daher gilt: 16 __ 9 = 10 __ h É 9 __ 16 = h __ 10 . Nun ist die Unbekannte im Zähler und die Gleichung kann wie oben gelöst werden. Diese Gleichung hätte Olivia auch mit Hilfe schrittweiser Äquivalenzumformungen erhalten. Ermittle die Unbekannte a! a) a _ 5 = 27 __ 10 b) a3 = 42 c) 169 = a18 d) a _ f = 3 _ d e) ax = by Ermittle die Unbekannte x! a) 17 __ x = 85 __ 9 b) 3x = 1218 c) 1 _ 2 1 _ 3 = 1 _ 3 x d) 2,5x = 0,93,6 e) ax = by interaktive Vorübung 5d3u85 AH S. 44 Bei einer Verhältnisgleichung (Proportion) ab = cd oder a _ b = c _ d (b, d ≠ 0) heißen a und d Außenglieder und b und c Innenglieder. Diese Gleichung ist für a, b, c, d ≠ 0 äquivalent zu: a·d = b·c Das Produkt der Außenglieder ist gleich dem Produkt der Innenglieder. ba = dc „Umdrehen“ der Verhältnisse Äquivalente Verhältnisgleichungen Video 5h4fu9 629 B O M DI 630 B O M DI 4 Verhältnisgleichungen 143 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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