F 2 Lösen von Gleichungen 2.4 Sonderfälle bei Gleichungen Kaya liebt Zahlenrätsel. Zu ihrer Freundin Lucija sagt sie: „Zuerst stelle ich einmal eine Gleichung auf, dann ist das Rätsel schnell eindeutig gelöst!“ Lucija weiß, dass Lösungen von Rätseln und Gleichungen nicht immer eindeutig sein müssen und sie denkt sich deshalb zwei solche Zahlenrätsel für Kaya aus: Rätsel 1 Rätsel 2 Wenn ich eine Zahl verdopple und dann 9 addiere, so ergibt sich das Gleiche, wie wenn ich das Doppelte der Zahl zu 3 addiere. Wenn ich zu 8 das Vierfache einer Zahl addiere, so ergibt sich das Gleiche, wie wenn ich zu der Zahl zuerst 2 addiere und das Ergebnis dann mit 4 multipliziere. Kaya stellt die Gleichungen auf: 2 x + 9 = 3 + 8 + = (x + 2)· Sie führt dann Äquivalenzumformungen durch und kommt zu seltsamen Ergebnissen: 2 x + 9 = 3 + 2 x | ‒2 x 9 = 3 (falsche Aussage) 8 + 4 x = (x + 2)·4 = 4 x + 8 | ‒4 x 8 = 8 Bei Rätsel 1 kann man für x keinen Wert finden, der die Gleichung löst. Bei Rätsel 2 führt jede beliebige Zahl für x zu einer wahren Aussage. Kaya überlegt sich auch eine unlösbare Aufgabe. Sie schreibt 8 a = 7a und dividiert beide Seiten durch a. Das Ergebnis 8 = 7 ist keine wahre Aussage. Lucija wendet hingegen die Äquivalenzumformungen an: 8 a = 7 a 1 ‒7 a a = 0 Es gibt also doch eine Lösung. Kayas Fehler liegt darin, dass sie durch die Variable dividiert und daher die Lösung a = 0 verloren hat. Daher ist die Division durch eine Variable keine Äquivalenzumformung. Hat die Gleichung keine oder unendlich viele Lösungen? Woran kannst du das erkennen? a) 18 – 3 x = ‒3 x + 12 b) 6 x – 5 + 2 x = 4 x – 5 c) 5·(x + 3) = 5 x + 15 Markiere alle Gleichungen rot, die keine Lösung haben, alle allgemein gültigen Gleichungen grün und alle mit der Lösung 0 gelb! Begründe deine Wahl! A 3 a = 3 a + 1 C 7 z – 2 = 7 z – 2 E 4 r + 2 = 4 r + 2 G 1 _ 2 z + 1 = 1 _ 3 z + 1 B 2 b = 5 b D z = z – 1 F ‒3 f – 2 = 5 f – 2 H 8 a = 8 a – 7 a Allgemein gültige Gleichung: Die Äquivalenzumformungen führen immer zu einer wahren Aussage. Alle Zahlen erfüllen diese Gleichung. Sie hat unendlich viele Lösungen. Gleichung ohne Lösung: Die Äquivalenzumformungen führen immer zu einer falschen Aussage. Keine Zahl erfüllt diese Gleichung. Die Gleichung hat keine Lösung. Sonderfälle bei Gleichungen B O M DI 583 584 * B O M DI * Sprachliche Bildung und Lesen 135 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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