F 2 Lösen von Gleichungen 2.3 Lösen von Gleichungen durch Äquivalenzumformungen Samira muss zur Hausübung einige Gleichungen lösen. Damit sie es dabei leichter hat und keinen Fehler macht, schreibt sie auf, wie sie vorgehen muss: Schritt 1: Bringe alle Unbekannten auf eine Seite! Schritt 2: Bringe alle Zahlen auf die Seite! Schritt 3: Dividiere durch den Koeffizienten der ! Außerdem weiß sie, dass es wichtig ist, die Gleichung vor jedem weiteren Schritt zu . Unbekannte 9 x – Zahl 12 = Unbekannte 6 x – Zahl 9 ! ‒6 x Schritt 1 Probe für x = 1 linke Seite: 9·1 – 12 = ‒3 rechte Seite: 6·1 – 9 = ‒3 ‒3 = ‒3 ✓ wahre Aussage 9 x – 12 – 6 x = 6 x – 9 – 6 x Vereinfache! 3 x – 12 = ‒9 ! + 12 Schritt 2 3 x – 12 + 12 = ‒9 + 12 Vereinfache! 3 x = 3 ! 3 Schritt 3 x = 1 Bemerkung: Die Variable kann auch mit einem anderen Buchstaben bezeichnet werden. Ergänze und löse die Gleichung! a) 6 x = 84 b) x5 = 11 c) x – 9 = 13 6 x = x = x = Beachte den Unterschied der beiden Gleichungen und löse sie dann! Schreibe alle Schritte zum Lösen der Gleichung auf! a) 5 x = 35 c) a _ 8 = 7 _ 2 e) 9 x = 5 x – 16 g) u _ 3 + u _ 2 = 15 b) y _ 8 = 1 d) 2 b + 3 = 17 f) 5 z + 3 = 4 z – 6 h) 5 _ 4 v = v + 1 Die folgenden Gleichungen haben alle die Lösung a) x = 5, b) y = 6, c) z = ‒2. 1) Überprüfe, ob das stimmt! 2) Sind die fünf Gleichungen äquivalent? Begründe! a) A x + 20 = 25 b) A 6 y + 1 = 37 c) A 17 z + 8 = 13 z B 2 x – 2 = 8 B 5 y + 3 ____ 11 = 3 B 14 z + 2 _ 3 = 11 z – 5 1 _ 3 C 2 x + 7 = 2 _ 5 x + 15 C 5 – 3 y = 11 – 4 y C 19,25 z + 22 – (8 z – 1,5 – 0,5 z) = 0 D 5 (x – 1) – 2 = 2 (x + 5) – x + 3 D 3·(y + 5) – 2·( 8 + y _ 4 ) = 14 D 5·(z – 8) _____ 13 = 115 z + 30 ______ 52 E 5 (x + 4) + 18 = 9 (x + 2) E ‒4 y + 26 = ‒y + 8 E 6·(z – 1) – (‒5)·(3 – z) = 7 Um eine Gleichung zu lösen, werden solange Äquivalenzumformungen angewendet, bis die Gleichung die Form x = … hat (kein x mehr auf der rechten Seite). Lösen von Gleichungen mit Äquivalenzumformungen 573 B O M DI 574 B O M DI Beispiel I: 4x = 48 II: 4 + x = 48 4 x = 48 | : 4 4 + x = 48 | ‒4 x = 12 x = 44 a) I: 36 = 2 x c) I: x6 = 13 II: 36 = 2 + x II: x – 6 = 13 b) I: 6 + 5 x = 121 d) I: x·7 = 14 II: 6 + 5 + x = 121 II: x + 7 = 14 575 B O M DI B O M DI 576 * * Sprachliche Bildung und Lesen 5i4u7b Arbeitsblatt 133 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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