Gleichungen und Formeln F 2 132 2.2 Äquivalenzumformungen Samira hat bei ihrem Opa eine alte Balkenwaage entdeckt. Die Waage ist im Gleichgewicht, wenn auf der linken und auf der rechten Waagschale Gegenstände mit gleichem Gewicht liegen. Sie verteilt Müsliriegel und Gewichte so, dass die Waage ausgeglichen ist. Eine Gleichung entspricht einer solchen Waage, denn das Gleichheitszeichen drückt aus, dass die linke Seite und die rechte Seite einer Gleichung „gleich schwer“ sind. Samira möchte nun feststellen, wie schwer ein Müsliriegel ist. Für die Masse eines Müsliriegels benutzt sie die Variable x: 5 x + 10 = + 70 Samira nimmt nun auf beiden Seiten der Waage je zwei Müsliriegel weg. Dies wird durch den senkrechten Strich rechts von der Gleichung und die Operation „‒2x“ angedeutet: 5 x + 10 = 2 x + 70 | – 2 x 5 x + 10 – 2 x = 2 x + 70 – 2 x Vereinfacht: Nun kann sie auf beiden Seiten der Waage 10 g entfernen, und die Waage bleibt im Gleichgewicht: 3 x + 10 = 70 | – 10 3 x + 10 = 70 – 3 x = 60 Wenn sie nun auf beiden Seiten alles drittelt, ändert sich immer noch nichts am Gleichgewicht: 3 x = 60 | : 3 3 x3 = 603 Samira erhält: x = . Ein Müsliriegel hat also eine Masse von g. Samira hätte auch auf jeder Waagschale gleich viele Müsliriegel (oder auch gleiche Massestücke) hinzufügen können. Die Waage würde selbst dann im Gleichgewicht bleiben, wenn Samira den Inhalt beider Seiten verdoppeln würde. Durch die Umformungen sind äquivalente Gleichungen entstanden. Umformungen einer Gleichung, durch die man äquivalente Gleichungen erhält, heißen Äquivalenzumformungen. Durch welche Äquivalenzumformung ist die zweite Gleichung aus der ersten hervorgegangen? a) x + 6 = 1 b) 7 x = 21 c) 3 t = 3 t d) 3 x – 7 = 2 x + 1 e) 5 z + 8 = 1 – 2 z x = – 5 x = 3 t = t x – 7 = 1 5 z + 7 = – 2 z 10 10 20 20 20 10 10 20 20 20 20 20 20 20 Die Lösung einer Gleichung ändert sich nicht, wenn man auf beiden Seiten 1) dieselbe Zahl addiert, 2) dieselbe Zahl subtrahiert, 3) mit derselben Zahl (≠ 0) multipliziert, 4) durch dieselbe Zahl (≠ 0) dividiert, 5) dasselbe Vielfache der Unbekannten addiert bzw. subtrahiert. Das Multiplizieren mit einer Unbekannten bzw. Dividieren durch eine Unbekannte ist keine Äquivalenzumformung (➞ Seite 135) Äquivalenzumformungen 572 B O M DI Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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