E 2 Rechnen mit Termen 117 Stelle den Term ohne Klammern dar und vereinfache ihn soweit wie möglich! Führe die Probe für p = 3, q = 2 durch! a) (p + q)2 + (p – q)2 = d) (p + q)2 – (p – q)2 = b) (q – 2 p)2 + (p + 2 q)2 = e) (3 q + 2 p)2 – (2 q – 3 p)2 = c) (p + q)2 + 3 (p – q)2 = f) 3 (p + q)2 – 2 (p – q)2 = Gib drei Terme an, die sich mit Hilfe der binomischen Formeln als Produkt schreiben lassen! Rechenvorteile mit binomischen Formeln Stelle die Quadratzahl mit der binomischen Formel 1) (a + b)2, 2) (a – b)2 dar und berechne ohne TR! a) 82 b) 31 c) 54 d) 79 Berechne zuerst ohne TR und kontrolliere anschließend mit dem TR! a) 2 999·3 001 b) 4 002·3 998 c) 6 001·5 999 d) 7 997·8 003 Denk dir eine natürliche Zahl! Multipliziere ihren Vorgänger mit ihrem Nachfolger und zähle 1 dazu! Probiere nochmals mit zwei anderen Zahlen! Was fällt dir auf? Begründe! Natascha rechnet 412 = 1 681 und Jakob 61·59 = 3 599 im Kopf. Wie könnten sie vorgegangen sein? Berechne im Kopf! a) 472 = 2 209. Wie viel ist dann 46·48? c) 3,82 = 14,44. Wie viel ist dann 3,7·3,9? b) 762 = 5776. Wie viel ist dann 75·77? d) 9,22 = 84,64. Wie viel ist dann 9,1·9,3? Felix quadriert mit seinem Taschenrechner einige Zahlen, die mit „Komma 5“ enden. Er vergleicht die Ergebnisse und sagt plötzlich: „Jetzt weiß ich, wie das Ergebnis bei 8,5 heißt.“ Erkennst du das Muster? a 1,5 2,5 5,5 6,5 7,5 8,5 a2 2,25 6,25 30,25 42,25 56,25 Aleksandra hat etwas entdeckt: „132 ist 169 und wenn man beide Ziffern umdreht, dann sind bei 312 = 961 auch die Ziffern umgedreht.“ Martin meint: „Bei 122 und 212 funktioniert es auch. 122 = 144 und 212 = 441.“ Kannst du eine Erklärung dafür finden? Gibt es noch andere Beispiele dafür? Wenn ja, welche? Wenn nein, warum nicht? Warum funktioniert es bei 142 und 412 oder 232 und 322 nicht ebenso? Zeige mit Hilfe einer binomischen Formel, dass 262 ‒ 152 durch 11 teilbar ist! 497 B O M DI 498 B O M DI 499 B O M DI Beispiel 28 2 1) 28 = 20 + 8 282 = (20 + 8)2 = 202 + 2·20·8 + 82 = 400 + 320 + 64 = 784 2) 28 = 30 – 2 282 = (30 – 2)2 = 302 ‒ 2·30·2 + 22 = 900 – 120 + 4 = 784 B O M DI 500 Beispiel 199·201 199·201 = (200 – 1)·(200 + 1) = 2002 – 12 = 40 000 – 1 = 39 999 501* B O M DI * Sprachliche Bildung und Lesen 502 * B O M DI 503 B O M DI 504 * B O M DI B O M DI 505 506 B O M DI Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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