Terme E 2 114 2.5 Binomische Formeln Martin soll auf einem quadratischen Grundstück mit Seitenlänge a den Rasen mähen. Außerhalb des Zaunes befindet sich ein L-förmiger Grünstreifen der Breite b, den er auch mähen muss. Wie groß ist die Fläche insgesamt? Der Flächeninhalt der gesamten Rasenfläche (➞ Figur rechts) entspricht der Summe der vier Teilflächeninhalte A = + + + . Wir können den Flächeninhalt des großen Quadrats auch berechnen, indem wir die Seitenlängen der gesamten Fläche multiplizieren: A = . Es gilt also: (a + b)2 = a2 + 2 a b + b2. Zu demselben Resultat kommen wir auch rein rechnerisch durch Ausmultiplizieren: (a + b)2 = (a + b)·(a + b) = a·a + a·b + a·b + b·b = a2 + a b + a b + b2 = a2 + 2 a b + b2. (a + b) bzw. (a – b) sind Binome, daher heißen die drei Formeln „Binomische Formeln“. Zeige durch Ausmultiplizieren, dass die Formel gilt! a) (a – b)2 = a2 – 2 a b + b2 c) (‒a + b)2 = a2 – 2 a b + b2 b) (a + b)·(a – b) = a2 – b2 d) (‒a – b)2 = a2 + 2 a b + b2 Wende die binomischen Formeln an! a) (a + 1)2 = c) (c + 100)2 = e) (10 – e)2 = g) (g – 15)2 = i) (j – 11)2 = b) (b – 2)2 = d) (10 + d)2 = f) (12 – f)2 = h) (14 + i)2 = j) (h + 13)2 = Beispiel (3 x – 2 y) 2 = (3 x)2 – 2·3 x·2 y + (2 y)2 = 9 x2 – 12 x y + 4 y2 (a – b)2 = a2 – 2· a · b + b2 a) (2 a + 1)2 = b) (4 i – 7)2 = c) (2 m + 5 p)2 = d) (3 u – 4 v)2 = e) (7 x – 0,5 u)2 = a) (‒3 x + y)2 = b) (‒5 y + 7 z)2 = c) (‒4 v + 3 k)2 = d) ( ‒ x _ 2 + y _ 3 ) 2 = a) (‒4 a – 3 m)2 = b) (‒3 b – 4 u)2 = c) (‒6 c – v)2 = d) ( ‒5 r – s _ 2 ) 2 = a) (e + f g)2 = c) (1 + p s)2 = e) (3 – g h)2 = g) (a2 + 2 b2)2 = b) (a2 + b2)2 = d) (a – b2)2 = f) (a b – c2)2 = h) (3 a2 – b2)2 = b b a a a b2 a . b a . b 2 (a + b)2 = a2 + 2 a b + b2 (a – b)2 = a2 – 2 a b + b2 (a + b)·(a – b) = a2 – b2 Binomische Formeln 479 B O M DI B O M DI 480 481 B O M DI B O M DI 482 (‒a + b)2 = (b – a)2 (‒a – b)2 = (a + b)2, denn (‒a – b) = (‒1)·(a + b) und (‒1)2 = 1 Tipp B O M DI 483 B O M DI 484 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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