Das ist Mathematik 3, Schulbuch

Humenberger (Hrsg.) Aue, Hasibeder, Himmelsbach, Schüller-Reichl A B C D Das ist Mathematik 3

Das ist Mathematik 3, Schülerbuch und E-Book Das ist Mathematik 3, Schülerbuch mit E-BOOK+ Das ist Mathematik 3, Schülerbuch E-Book Solo Das ist Mathematik 3, Schülerbuch E-BOOK+ Solo Kopierverbot Wir weisen darauf hin, dass das Kopieren zum Schulgebrauch aus diesem Buch verboten ist – § 42 Abs. 6 Urheberrechtsgesetz: „Die Befugnis zur Vervielfältigung zum eigenen Schulgebrauch gilt nicht für Werke, die ihrer Beschaffenheit und Bezeichnung nach zum Schul- oder Unterrichtsgebrauch bestimmt sind.“ Technische Zeichnungen: Dr. Herbert Löffler, Wien Illustrationen: Mag. Adam Silye, Wien 1. Auflage (Druck 0001) © Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2025 www.oebv.at Alle Rechte vorbehalten. Jede Art der Vervielfältigung, auch auszugsweise, gesetzlich verboten. Redaktion: Mag. Melanie Zimmermann, Wien Herstellung: Ing. Bianca Mannsberger, Wien Umschlaggestaltung: weissbunt, design und kontext, Berlin Layout: weissbunt, design und kontext, Berlin Satz: CMS - Cross Media Solutions GmbH, Würzburg Druck: Brüder Glöckler GmbH, Wöllersdorf ISBN 978-3-209-12273-5 (Das ist Mathematik SB 3 und E-Book) ISBN 978-3-209-12277-3 (Das ist Mathematik SB 3 mit E-BOOK+) ISBN 978-3-209-13080-8 (Das ist Mathematik SB 3 E-Book Solo) ISBN 978-3-209-13084-6 (Das ist Mathematik SB 3 E-BOOK+ Solo) Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

A B C Das ist Mathematik 3 www.oebv.at Interaktive Übungen auf www.oebv.at von: Dipl.-Päd. Thomas Schroffenegger, BEd MAS MSc Lösungen sind in jeder Buchhandlung und auf www.oebv.at erhältlich Univ.-Prof. Mag. Dr. Hans Humenberger (Hrsg.) HR Mag.a Vera Aue Mag. Johannes Hasibeder DI Mag. Dr. Michael Himmelsbach, MA Mag.a Johanna Schüller-Reichl Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

Inhaltsverzeichnis 2 Inhaltsverzeichnis Willkommen zu Das ist Mathematik 6 Mathematische Zeichen 8 Mathematik macht Spaß/ Wiederholung 10 Kompetenzbereich – Zahlen und Maße A Ganze Zahlen 18 1 Ganze Zahlen 20 1.1 Einführung der ganzen Zahlen 20 1.2 Eigenschaften ganzer Zahlen 21 1.3 Gegenzahl und Betrag einer ganzen Zahl 23 1.4 Ganze Zahlen als Veränderung 25 2 Addieren und Subtrahieren ganzer Zahlen 26 2.1 Addieren ganzer Zahlen 26 2.2 Subtrahieren ganzer Zahlen 29 2.3 Addieren und Subtrahieren in vereinfachter Schreibweise 31 3 Multiplizieren und Dividieren ganzer Zahlen 33 3.1 Multiplizieren ganzer Zahlen 33 3.2 Dividieren ganzer Zahlen 36 4 Verbindung der vier Grundrechnungsarten 37 Vernetzte Aufgaben 39 Wissensstraße 41 B Rationale Zahlen und Verhältnisse 42 1 Rationale Zahlen 44 1.1 Einführung der rationalen Zahlen 44 1.2 Eigenschaften rationaler Zahlen 45 1.3 Graphische Darstellung rationaler Zahlen 46 1.4 Vergleichen und Ordnen rationaler Zahlen 47 2 Rechnen mit rationalen Zahlen 48 2.1 Addieren und Subtrahieren rationaler Zahlen 48 2.2 Multiplizieren und Dividieren rationaler Zahlen 51 2.3 Verbindung der vier Grundrechnungsarten 53 3 Verhältnisse 54 Vernetzte Aufgaben 56 Wissensstraße 59 C Potenzen 60 1 Einführung der Potenzen 62 2 Rechenregeln für Potenzen 64 2.1 Multiplizieren und Dividieren von Potenzen 64 2.2 Potenzieren von Produkten und Quotienten 65 2.3 Potenzieren von Potenzen 66 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

3 3 Darstellung von Zahlen mit Zehnerpotenzen 67 Vernetzte Aufgaben 69 Wissensstraße 71 D Prozentrechnung und Zinsrechnung 72 1 Prozentrechnung 74 1.1 Grundbegriffe 74 1.2 Prozentpunkte 76 1.3 Prozentuelle Änderungen in einem Schritt 77 2 Zinsrechnung 81 2.1 Jahreszinsen 81 2.2 Zinsen für Teile eines Jahres 82 2.3 Kapitalertragsteuer (KESt.) 84 Vernetzte Aufgaben 87 Wissensstraße 90 Technologie – Zahlen und Maße 92 Kompetenzbereich – Variablen und Funktionen E Terme 94 1 Grundbegriffe der Termrechnung 96 1.1 Einführung 96 1.2 Wert eines Terms 98 1.3 Aufstellen und Interpretieren von Termen 100 2 Rechnen mit Termen 104 2.1 Addieren und Subtrahieren von Termen 104 2.2 Auflösen von Klammern 106 2.3 Probe bei Termrechnungen 108 2.4 Multiplizieren von Termen 110 2.5 Binomische Formeln 114 2.6 Herausheben bei Termen 118 3 Termstrukturen 119 Vernetzte Aufgaben 121 Wissensstraße 124 F Gleichungen und Formeln 126 1 Aufstellen von Gleichungen und Formeln 128 2 Lösen von Gleichungen 131 2.1 Äquivalente Gleichungen 131 2.2 Äquivalenzumformungen 132 2.3 Lösen von Gleichungen durch Äquivalenzumformungen 133 2.4 Sonderfälle bei Gleichungen 135 2.5 Gleichungen aus Texten 136 3 Arbeiten mit Formeln 140 4 Verhältnisgleichungen 143 Vernetzte Aufgaben 147 Wissensstraße 150 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

Inhaltsverzeichnis 4 G Wachstums- und Abnahmeprozesse 152 1 Lineare Wachstums- und Abnahmeprozesse 154 1.1 Lineare Wachstums- und Abnahmeprozesse 154 1.2 Lineare Wachstumsmodelle 155 1.3 Direkt proportionale Größen 157 1.4 Zinsen 159 1.5 Lineare Abnahmeprozesse 161 2 Nicht lineare Wachstums- und Abnahmeprozesse 162 2.1 Indirekt proportionalen Größen 162 2.2 Zinsenzinsen 164 2.3 Weitere Wachstums- und Zerfallsprozesse 166 Vernetzte Aufgaben 167 Wissensstraße 170 Technologie – Variablen und Funktionen 172 Kompetenzbereich – Daten und Zufall H Statistik und Wahrscheinlichkeit 180 1 Mittelwerte 182 2 Merkmale und ihre Ausprägungen 183 3 Diagramme 185 3.1 Darstellen und Interpretieren 185 3.2 Diagramme kritisch betrachten 188 4 Wahrscheinlichkeit 193 4.1 Wahrscheinlichkeiten im Alltag 193 4.2 Wahrscheinlichkeiten und relative Häufigkeit 195 4.3 Wahrscheinlichkeiten und relative Anteile (nach Laplace) 199 Vernetzte Aufgaben 203 Wissensstraße 206 Technologie – Daten und Zufall 208 Kompetenzbereich – Figuren und Körpern I Vierecke und Vielecke 212 1 Flächeninhalt von Dreiecken und besonderen Vierecken 214 1.1 Berechnen des Flächeninhalts 214 1.2 Umkehraufgaben 217 2 Flächeninhalt allgemeiner Vierecke 219 3 Vielecke 220 3.1 Eigenschaften 220 3.2 Regelmäßige Vielecke 222 3.3 Konstruktion regelmäßiger Vielecke 223 Vernetzte Aufgaben 225 Wissensstraße 227 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

5 J Ähnlichkeit 228 1 Zentrische Streckung 230 1.1 Vergrößern – Verkleinern 230 1.2 Eigenschaften einer zentrischen Streckung 232 2 Ähnlichkeit bei Vielecken 234 3 Ähnlichkeitssätze bei Dreiecken 236 3.1 Ähnlichkeitssätze 236 3.2 Anwendung der Ähnlichkeit: Strahlensatz 238 3.3 Teilungspunkte einer Strecke 240 3.4 Verlängern bzw. Verkürzen von Strecken 242 4 Längen- und Flächenbeziehungen bei ähnlichen Figuren (Körpern) 243 Vernetzte Aufgaben 246 Wissensstraße 250 K Körper 252 1 Prisma 254 1.1 Eigenschaften 254 1.2 Schrägriss 256 1.3 Netz und Oberfläche 258 1.4 Volumen (Rauminhalt) des Prismas 260 2 Pyramide 262 2.1 Eigenschaften 262 2.2 Schrägriss 264 2.3 Netz und Oberfläche 265 2.4 Volumen (Rauminhalt) der Pyramide 267 3 Dichte von Körpern 268 Vernetzte Aufgaben 272 Wissensstraße 275 Technologie – Figuren und Körper 276 Anhang Lösungen zu den Wissensstraßen 279 Formelsammlung 283 Register 287 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

Willkommen zu Das ist Mathematik 6 Willkommen zu Das ist Mathematik Liebe Schülerin, lieber Schüler, wir möchten dich herzlich in der dritten Klasse begrüßen. Das Buch Das ist Mathematik wird dich wieder im Mathematikunterricht begleiten. Wir möchten dir zeigen, dass Mathematik mehr als Rechnen ist. Mathematik ist… … eine Sprache. Deswegen werden dir so genannte Sprachbausteine bei der Übersetzung von Mathematik in die Alltagssprache und umgekehrt helfen. Insbesondere unterstützen dich die Sprachbausteine, wenn du Sachverhalte interpretieren und begründen sollst. … wichtig für die geschichtliche Entwicklung der Menschheit. Deswegen wirst du einen Teil davon mit Hilfe der geschichtlichen Motivationsseiten am Anfang jedes Abschnitts kennenlernen. Hier findest du auch Rätsel und interessante Aufgaben zu den Bildern. Die Lösungen dazu findest du auf www.oebv.at unter dem digitalen Zusatzmaterial von Das ist Mathematik. Gesucht sind jene Zahlen, die von Null den Abstand/einen größeren Abstand als/einen kleineren Abstand als haben. Sprachbaustein Prozentrechnung und Zinsrechnung D 72 Prozentrechnung und Zinsrechnung Verleih von Gütern Beim ersten bedeutenden griechischen Historiker Herodot (ca. 495–424 vor Chr.) ist zu lesen: „Jedem Ägypter wurde ein gleich großes quadratisches Stück Land zugewiesen, für das ein Pachtzins zu zahlen war.“ Also bereits in alter Zeit, als man noch gar kein geregeltes Geldwesen hatte, war es üblich, Güter anderen zur Verfügung zu stellen. Wenn beispielsweise ein Bauer einem anderen Getreide lieh, verlangte er einen „Naturalzins“. Nach der Ernte musste der Schuldner die gleiche Menge Getreide mit einem Aufschlag zurückgeben. Dieser Aufschlag wurde „Zins“ genannt, was so viel wie „Abgabe“ bedeutete. Diesen Zins begründete der Verleiher damit, dass er um die verliehene Getreidemenge im kommenden Jahr weniger für die Aussaat hätte und entsprechend weniger Ernte erzielen würde. Eine schlechte Ernte konnte in der Folge für den Schuldner im doppelten Sinne tragisch sein. Auf der einen Seite blieb ihm für seinen eigenen Gebrauch wenig Getreide übrig, auf der anderen Seite bekam er Schwierigkeiten, dem Bauern, bei dem er sich das Getreide ausgeborgt hatte, die geliehene Getreidemenge zurückzugeben. Das konnte für ihn sogar zur Enteignung führen. Getreide gehörte in den frühen Hochkulturen zu den wichtigsten Gütern. Im alten Griechenland wurde die Gerste sogar als Gewichtsmaß zum Wiegen von Gold oder Edelsteinen verwendet. Warum eignen sich Körner dazu gut? Josef stellt Getreide zur Verfügung Schon die biblische Geschichte des Josef, einem der zwölf Söhne des Patriarchen Jakob, berichtet in Andeutungen vom Wirtschaften in alter Zeit. Josef wurde von seinen Brüdern verstoßen und fern der Heimat zum bevorzugten Berater des Pharao in Ägypten. Dort sorgte er dafür, dass in den sieben „fetten“ Jahren, in denen die Bauern mehr als üblich ernteten, Vorräte gesammelt wurden. Diese Vorräte bewahrten die Bevölkerung in den darauf folgenden sieben „mageren“ Jahren vor Hunger. Zu dieser Zeit der mageren Jahre kamen zehn Brüder Josefs aus ihrer Heimat Kanaan nach Ägypten und baten Josef, den sie nicht als ihren Bruder erkannten, auch ihrer Bevölkerung Getreide zur Verfügung stellen. Josef zeigte Edelmut und schickte die Brüder mit dem gewünschten Getreide nach Hause. Friedrich Overbeck: Verkauf Josefs an ägyptische Händler (1816) 5ah95z Video D 73 Worum geht es in diesem Abschnitt? • Wiederholung der Prozentrechnung • Unterschied zwischen Prozenten und Prozentpunkten • Prozentuelle Änderung in einem Schritt • Zinsrechnung: Jahreszinsen, Zinsen für Teile eines Jahres • Berücksichtigung der Kapitalertragsteuer Geldverleih In der Folge wurde neben Naturalien auch immer mehr Geld verliehen. Der Schuldner hatte dabei dem Geldverleiher (Gläubiger) nach einer vereinbarten Zeit nicht nur die geborgte Geldsumme, sondern auch einen darüber hinausgehenden Betrag zu bezahlen. Der Geldverleiher hatte so sein Eigentum allein durch den Zins vermehrt, ohne dafür gearbeitet zu haben. Hast du schon einmal einem Freund oder einer Freundin Geld geborgt? Unter Freunden und in der Familie ist es üblich keine Zinsen zu verlangen. Notiere dir allerdings, wem du wie viel Euro geborgt hast! Nicht umsonst sagt ein Spruch: „Strenge Rechnung, gute Freunde!“ Geldwirtschaft von der Antike bis in die Neuzeit Der griechische Philosoph Aristoteles (384–322 v. Chr.) misstraute der Idee, dass Geld „arbeiten“ könne, ja er hielt den Zins für hassenswert. Für den Theologen Thomas von Aquin (1225–1274) war der Zins der Preis für die Zeit, in der der Gläubiger auf sein Geld verzichten musste. Er meinte, dass die Zeit aber ein Geschenk Gottes sei, mit dem man nicht Geschäfte machen dürfe. Bis ins 17. Jahrhundert galt für Christen ein Zinsverbot. Dann aber kam ein wirtschaftliches Umdenken, Kreditmärkte entstanden und die Amsterdamer Börse wurde gegründet. Heute ist es eigentlich eine Selbstverständlichkeit, dass das Ausleihen von Geld etwas kostet und das Verleihen von Geld etwas bringt (Zinsen), denn immerhin muss der Verleiher ja eine gewisse Zeit auf sein Kapital verzichten. Thomas von Aquin (1225–1274) Online Codes zu Videos, Übungen oder Arbeitsblättern Inhalte des Abschnitts Spielerischer Abschluss der Einstiegsseite Quick Media App für Videos Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

7 … Entdecken, Probieren und Knobeln. Deswegen wirst du viele interessante Denksportaufgaben und ein paar harte Nüsse im Buch entdecken. Denksportaufgaben sind mit gekennzeichnet und der Erweiterungsstoff mit . … ein Werkzeug im Alltag. Deswegen findest du interessante Aufgabenstellungen in diesem Buch, die sich aus Informationstexten ergeben. Da oft im Alltag nicht ganz eindeutig ist, welche Information man eigentlich zum Lösen eines Problems braucht, musst du den Text und die Fragestellung genau durchlesen. Aufgaben, die diese Problematik aufgreifen, sind mit gekennzeichnet. … strukturiertes Denken. Deswegen ist auch dieses Buch ganz klar aufgebaut. Am Anfang jedes Kapitels erwartet dich ein kurzer Einstieg, bei dem du auch selbst aktiv wirst. Dann wird das grundlegende Wissen dieses Kapitels vermittelt und in einem Merkkasten zusammengefasst. Beispiele helfen dir beim Anwenden des Wissens und beim Lösen der Aufgaben. Tipps unterstützen dich gezielt beim Lösen der Aufgaben. Damit du alle Inhalte eines gesamten Abschnitts nochmals wiederholst, findest du am Ende die Aufgabensammlung Vernetzte Aufgaben und eine Zusammenfassung. Die anschließende Wissensstraße fasst die Lernziele zusammen und bietet Aufgaben, um diese zu erreichen und zu überprüfen. Wir wünschen dir viel Freude an der Mathematik und mit unserem Buch! Eine Zahl heißt vollkommen, wenn die Summe der Teiler (ohne die Zahl selbst) wieder die Zahl ergibt. Infobox Tipp Ein Minus vor einer Klammer … 18 5cv2s5 engl. AB Vernetzte Aufgaben 1 B O M DI B DI 2 B O M DI 3 B O M DI 4 B O M DI 5 B O M DI Zusammenfassung 19 Lernziele: Ich kann … Wissensstraße Wissensstraße Z 1: Z 2: Z 3: Z 4: Z 5: 6 Z 4 B O M DI 7 Z 2 B O M DI 8 Z 2 Z 3 B O M DI 9 Z 2 B O M DI 10 Z 2, Z 3, Z 4 B O M DI 11 Z 4 B O M DI 12 Z 4 B O M DI 13 Z 5 B O M DI 14 Z 5 Hier findest du Aufgaben, die den gesamten Abschnitt wiederholen oder auch verschiedene Abschnitte miteinander verbinden. Die Aufgabenstellung gilt hier für mehrere Aufgaben Die Lernziele werden oben mit Z1, Z2, Z3, … bezeichnet und im Aufgabenbereich entsprechend geübt. Setze bei jenen Aufgaben, die du beherrscht, ein Häkchen. In der Zusammenfassung findest du die gesamte Theorie des Abschnitts. Das Potenzieren ist ein Multiplizieren gleicher Faktoren. Das Potenzieren hat Vorrang gegenüber … Potenzieren Beispiel ​(​2 ​3​) ​4​ = ​2​ 3 · 4​ = ​2 ​12​ = 4 096 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

Mathematische Zeichen 8 Symbole und Zeichen Zeichen: ℕ = {0, 1, 2, 3, …} Menge der natürlichen Zahlen Q = Menge der rationalen Zahlen ℕu = {1, 3, 5, …} Menge der ungeraden nat. Zahlen ​Q ​ +​ = Menge der pos. rationalen Zahlen ℕg = {0, 2, 4, 6, …} Menge der geraden nat. Zahlen ​Q ​ –​ = Menge der neg. rationalen Zahlen Z = {…, ‒3, ‒2, ‒1, 0, 1, 2, 3, …} Menge der ganzen Zahlen { } oder Ø: leere Menge Z+ = {1, 2, 3, …} Menge der positiven ganzen Zahlen Z‒ = {…, ‒3, ‒2, ‒1} Menge der negativen ganzen Zahlen = ist gleich ≠ ist nicht gleich, ungleich < kleiner als ≤ kleiner gleich, höchstens gleich > größer als ≥ größer gleich, mindestens gleich ≈ rund, etwa, angenähert gleich š entspricht w daraus folgt É ist gleichbedeutend mit, ist äquivalent zu * ist Element von, gehört zu + ist kein Element von, gehört nicht zu ​1 a 1​ Betrag von a ​a ​n​ a hoch n, a zur n-ten Potenz Abkürzungen: Ü Überschlagsrechnung f. A. falsche Aussage P Probe ggT größter gemeinsamer Teiler w. A. wahre Aussage kgV kleinstes gemeinsames Vielfaches Symbole: * Diese Aufgabe bezieht sich auf ein bestimmtes Übergreifendes Thema des Lehrplans. Lies genau bei dieser Aufgabe! Du lernst dabei zu beachten, welche Angaben zur Lösung einer Aufgabe wichtig sind. schwierige, herausfordernde Aufgabe, Erweiterungsstoff Denksportaufgabe zum Knobeln Hake die Aufgabe in der Wissensstraße ab, die du richtig gelöst hast. Dieses Symbol gibt die entsprechende Seite im Arbeitsheft an. Damit wird angezeigt, welche der Prozesse (Operieren, Rechnen, Konstruieren; Modellieren, Problemlösen; Darstellen, Interpretieren; Vermuten, Begründen) in der Aufgabe behandelt werden. Die Prozesse werden bei Das ist Mathematik bei jeder Aufgabe angeführt und mit folgenden Buchstaben gekennzeichnet: Modellieren meint das Bearbeiten außermathematischer Aufgabenstellungen mit Hilfe von Mathematik. Problemlösen meint das Bearbeiten innermathematischer Aufgabenstellungen, die für Schülerinnen und Schüler keine Routineaufgaben sind, insbesondere, wenn ihnen (noch) kein passendes Lösungsverfahren bekannt ist. ! teilt, ist Teiler von … ~ teilt nicht, ist kein Teiler von … % Prozent ‰ Promille u parallel û nicht parallel ¾ rechter Winkel © rechtwinklig zu, normal auf AB Strecke AB ​ __ AB​ Länge der Strecke AB ¼ ab Winkel zwischen a und b ¼ ABC Winkel zwischen AB und BC t kongruent, deckungsgleich r ähnlich weiterführende Materialien 6xf34v B O M DI B O M DI Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

9 Online-Code Hier gibt es eine Online-Ergänzung. Der Code führt direkt zu den Inhalten. Im Digitalen Zusatzmaterial befinden sich Videos, Technologieanleitungen, interaktive Übungen und Arbeitsblätter. www.oebv.at Suchbegriff / ISBN / SBNr / Online-Code Suchen 1. Scanne den QR-Code (unten) und lade die App auf dein Smartphone oder dein Tablet. 2. Scanne deinen Buchumschlag oder wähle dein Schulbuch in der App-Medienliste aus. 3. Scanne eine mit gekennzeichnete Buchseite oder wähle ein Audio/Video aus der App-Medienliste aus. 4. Spiele das Audio/Video ab. öbv QuickMedia App Android iOS Operieren meint das Durchführen von Rechen- oder Konstruktionsabläufen. Rechnen meint das Durchführen von Rechenoperationen mit konkreten Zahlen (auch Abschätzen von Größenordnungen) ebenso wie das Umformen algebraischer Ausdrücke und das Lösen von Gleichungen. Konstruieren meint das regelhafte Erstellen von Bildern geometrischer Objekte. B O M DI Darstellen meint das verbale, grafische, tabellarische oder algebraische Beschreiben inner- und außermathematischer Sachverhalte und umfasst auch den Wechsel zwischen solchen Darstellungsarten. Interpretieren meint das Entnehmen von Informationen aus verbalen, grafischen, tabellarischen oder algebraischen Darstellungen und das Deuten im jeweiligen Kontext. Vermuten meint das Aufstellen von Hypothesen aufgrund von Beobachtungen und steht häufig am Beginn eines Begründungsprozesses. Begründen meint das Anführen von Argumenten bzw. das Bilden von Argumentationsketten, um eine Vermutung bzw. Behauptung zu bestätigen oder zu widerlegen. Die mathematische Kompetenz der Schülerinnen und Schüler zeigt sich in der Fähigkeit, diese Handlungen im Rahmen der zentralen fachlichen Konzepte durchführen zu können. Übergreifende Themen Das Ziel der übergreifenden Themen ist die fächerübergreifende Kompetenzentwicklung sowie das vernetzte Lernen der Schülerinnen und Schüler über die fachspezifischen Grenzen hinaus zu unterstützen und mit gesellschaftlich relevanten aktuellen Themen zu verbinden. Insgesamt werden 13 übergreifende Themen im neuen Lehrplan genannt, wobei drei davon nicht verpflichtend für den Mathematiklehrplan sind • Entrepreneurship Education, • Informatische Bildung, • Interkulturelle Bildung, • Medienbildung, • Politische Bildung, • Reflexive Geschlechterpädagogik und Gleichstellung, • Sprachliche Bildung und Lesen, • Umweltbildung für nachhaltige Entwicklung, • Verkehrs- und Mobilitätsbildung, • Wirtschafts- Finanz- und Verbraucher/ innenbildung Ausgenommen vom Fachlehrplan Mathematik sind: • Bildungs-, Berufs- und Lebensorientierung, • Gesundheitsförderung, • Sexualpädagogik B O M DI B O M DI Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

Mathematik macht Spaß/Wiederholung 10 Mathematik macht Spaß/Wiederholung Kann es den Gegenstand geben? Nimm Buntstifte und male die „oben“ liegenden Flächen an! a) b) Lege fünf Streichhölzer so auf, dass zwei gleich große Dreiecke entstehen, die einander nur in einem Eckpunkt berühren! Aus einem Quadrat mit 5 cm Seitenlänge wird ein Viertel herausgeschnitten. 1) Zerschneide die restliche Figur in vier gleich große und kongruente Teilfiguren! 2) Wie groß ist der Umfang einer solchen Teilfigur? Wie viele gleichseitige Dreiecke sind in der Zeichnung dargestellt? Bemerkung: Die nebenstehende Figur ist das „Markenzeichen“ des Wiener Mathematik- und Denksportwettbewerbes, der jedes Jahr für Schülerinnen und Schüler durchgeführt wird. Die Aufgabe stammt aus dem Bewerb im Jahr 2000. Einige Krähen sitzen auf Bäumen im Garten. Auf jedem Baum sitzt genau eine Krähe, aber für eine Krähe gibt es keinen Baum. Etwas später sitzen dieselben Krähen wieder auf denselben Bäumen. Diesmal sitzen je zwei Krähen auf jedem Baum, wobei ein Baum frei bleibt. Wie viele Bäume befinden sich im Garten? Kreuze an! A 2 B 3 C 4 D 5 E 6 Grüne, blaue und orange Aliens fliegen in einem Raumschiff herum. Grüne Aliens haben 2 Tentakeln, orange haben 3 und blaue haben 5. Im Raumschiff gibt es gleich viele grüne und orange Aliens und um 10 blaue mehr als grüne. Zusammen haben sie 250 Tentakeln. Wie viele blaue Aliens fliegen im Raumschiff mit? A 15 B 20 C 25 D 30 E 40 AH S. 4 1 B O M DI 2 3 B O M DI 4 B O M DI B O M DI 5 6 B O M DI Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

Mathematik macht Spaß/Wiederholung 11 Welche der folgenden Objekte gehen durch eine räumliche Bewegung aus dem rechts abgebildeten Objekt hervor? 1 2 3 4 A 1 und 3 B 2 und 4 C nur 3 D keines E 1, 2 und 3 Innerhalb eines großen Rechtecks liegen – wie in der Figur rechts zu sehen – 6 gleich große einander berührende Kreise, die alle dieses Rechteck berühren. Die 6 Kreismittelpunkte liegen auf den Seiten eines kleinen Rechtecks, wobei vier dieser Mittelpunkte auch gleichzeitig Eckpunkte dieses Rechtecks sind. Wie groß ist der Umfang des großen Rechtecks, wenn der Umfang des kleinen 60 cm beträgt? A 160 cm B 140 cm C 120 cm D 100 cm E 80 cm M ist der Mittelpunkt des regelmäßigen Fünfecks (➞ Figur rechts). Welcher Anteil des Fünfecks ist gekennzeichnet? A 10 % B 20 % C 25 % D 30 % E 40 % Der blaue hohle Würfel hat zwei Löcher. Welches Netz (verkleinert dargestellt) gehört zum Würfel? A B C D E Wenn das Känguru Bruce mit dem linken Bein abspringt, hüpft es 2 m weit. Wenn es rechts abspringt, hüpft es 4 m weit und wenn es mit beiden Beinen abspringt, hüpft es 7m weit. Wie oft muss es mindestens springen, wenn es genau 1 000 m zurücklegen will? A 145 B 146 C 144 D 140 E 150 Mit 9 geraden Linien – 5 waagrechten und 4 senkrechten – lässt sich eine Tabelle mit 12 Feldern zeichnen. Zeichnet man jedoch 6 waagrechte und 3 senkrechte gerade Linien, hätte die Tabelle nur 10 Felder. Was ist die höchste Anzahl an Feldern, die du in einer Tabelle erhalten kannst, wenn du 15 gerade Linien zum Zeichnen der Tabelle verwendest? A 22 B 30 C 36 D 40 E 42 7 B O M DI 8 B O M DI M 9 B O M DI B O M DI 10 11 B O M DI 12 B O M DI Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

Mathematik macht Spaß/Wiederholung 12 Paul ist am Ende der Ferien mit seiner Familie in ein neues Haus gezogen. Wohin ist Paul mit seiner Familie gezogen? Die Buchstaben der Lösungen ergeben in der richtigen Reihenfolge den gesuchten Ort. Wähle jeweils aus den zwei rechts stehenden Ergebnissen aus! 1) 4 ​2 _ 3 ​+ 1 ​ 5 _ 6 ​ R 6,5 L 8 2) 1 ​7 _ 8 ​+ 2 ​ 1 _ 6 ​ U 3 ​ 1 __ 24 ​ A 4 ​ 1 __ 24 ​ 3) 6 ​ 5 _ 9 ​– 2 ​ 2 _ 3 ​ S 4 ​ 8 _ 9 ​ N 3 ​ 8 _ 9 ​ 4) 10 ​ 3 _ 4 ​– 6 ​ 5 _ 8 ​ K 4 ​ 1 _ 8 ​ T 3 ​ 1 _ 8 ​ 5) 7 ​1 __ 32 ​· ​ 4 _ 5 ​ E 7 ​ 1 __ 40 ​ W 5 ​ 5 _ 8 ​ 6) 5 ​1 _ 3 ​·4 ​ 1 _ 8 ​ E 22 N 20 ​ 1 __ 24 ​ 7) ​4 _ 3 ​ ​ 3 _ 5 ​ I 2 ​ 2 _ 9 ​ A ​ 4 _ 5 ​ 8) ​ 3 _ 4 ​1 ​ 11 __ 16 ​ U ​ 48 __ 44 ​ L ​ 4 _ 9 ​ Ort: _ _ _ _ _ _ _ _ Pauls Mutter ist dreimal so alt wie Paul. Pauls Vater ist um 3 Jahre jünger als die Mutter und Pauls Schwester ist um 2 Jahre jünger als Paul. Insgesamt sind sie 107 Jahre alt. Wie alt sind die jeweiligen Familienmitglieder? Stelle eine Gleichung auf und berechne! Paul möchte seinen Schulfreunden einen Plan vom Grundstück zeigen. Die Form setzt sich aus einer Raute und einem Drachenviereck zusammen (➞ Skizze). 1) Konstruiere einen Plan im Maßstab 1500! ​ __ AB ​= ​ __ BC ​= 20 m, ​ __ BF ​= ​ __ EF ​= 30 m, ¼ CBA 135°, ¼ BCE = 90° 2) Berechne den Flächeninhalt! Nimm dazu die notwendigen Längen aus deiner Zeichnung! 3) Im Garten soll ein Biotop angelegt werden. Es soll von den beiden Gründstücksseiten BF und FE gleich weit entfernt sein. Zeichne in den Plan ein, entlang welcher Linie das Biotop angelegt werden kann! Nachdem das Biotop fertig geworden ist, möchte Paul gerne wissen, wie lang es ist. Dazu misst er zuerst vom Haus die Strecke zum einen Ende des Biotops ​ __ HP ​= 4 m, sowie zum anderen Ende ​ ___ HQ ​= 4,5 m. Der Winkel ¼ QHP zwischen den beiden Strecken beträgt 59°. Er fertigt die Skizze rechts an. Zeichne einen Plan im Maßstab 150! Wie lang ist das Biotop? 13 B O M DI 14 B O M DI A C D E F B 15 B O M DI H P Q Biotop B O M DI 16 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

Mathematik macht Spaß/Wiederholung 13 Das Grundstück wird an allen Seiten umzäunt (➞ Aufgabe 15). Wie viel Euro muss Pauls Familie bezahlen, wenn der Preis für ein 2 m langes Zaunstück 24,90 € beträgt? Der Kaufpreis des Grundstücks betrug 78 000 €. Wie viel Euro musste die Familie bezahlen, wenn noch 3,5 % vom Kaufpreis für die Grunderwerbsteuer berücksichtigt werden muss? Eine Seite des Grundstücks wird annähernd von einem kleinen Bach begrenzt. Die Eltern wollen die Stufen zum Bach genau in die Mitte der Grundstücksgrenze AD legen. Zeichne in der Skizze rechts ein, wo die Stufen gebaut werden müssen! Das Haus soll unterkellert werden. Der Keller hat eine niedrigere Raumhöhe als die oberen Stockwerke (➞ Bild rechts). 1) Welches ist die größtmögliche Stufenhöhe, wenn alle Stufen gleich hoch sein sollen? 2) Welche anderen Stufenhöhen wären möglich? Welche davon sind sinnvoll? Begründe deine Wahl! Zur Befestigung des Baugerüstes müssen zwei Metallplatten mit Schrauben verbunden werden. In welchem Abstand voneinander kann man zwei Schrauben stecken, ohne neue Löcher bohren zu müssen? Während eines Baus kam es immer wieder zu Abweichungen vom vereinbarten Plan. Kreuze an, ob die Zusammenhänge direkt proportional (dp), indirekt proportional (ip) oder keines von beiden sind (np)! Die Buchstaben der richtigen Lösungen ergeben von unten nach oben gelesen den Namen von Pauls Schwester. dp ip np 1) Dank eines zusätzlichen Handwerkers konnten sie nun zu viert die Arbeiten in der halben Zeit erledigen. H A E 2) Für einen Bagger hätte die Familie 250 Euro bezahlt. Für zwei Bagger bezahlen sie 500 Euro. I J S 3) Wegen Krankheit sind an einem Tag nur zwei der drei Elektrikerinnen erschienen. Sie haben an diesem Tag doppelt so lange für ihre Arbeit gebraucht. N I R 4) Für die vierfache Wandfläche haben die Maler die vierfache Zeit benötigt. A U O 5) Anstelle von sechs Maurern sind nur vier gekommen. Die Arbeiten haben daher um 50 % länger gedauert. L M R Name von Pauls Schwester: 17 B O M DI A D B O M DI 18 Erdgeschoß 240 cm 272 cm Kellergeschoß B O M DI 19 20 B O M DI 9 cm 6 cm B O M DI 21 22 B O M DI Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

Mathematik macht Spaß/Wiederholung 14 Rechts abgebildet ist eine Skizze des Hauses mit dem gleichschenkligen Dachgiebel. 1) Welche Netze passen dazu? Kreuze an! A B C D 2) Berechne die Größe des Winkels α! 3) Berechne den Rauminhalt des Hauses! Pauls Zimmer und das Zimmer seiner Schwester werden mit den gleichen Möbeln, aber spiegelverkehrt eingerichtet. Spiegle Pauls Zimmer entlang der roten, strichpunktierten Linie, um einen Plan vom Zimmer der Schwester zu erhalten! Paul Eltern Flur Bad Schwester Führe die Rechnungen passend zu 1)–4) durch! Rechne die Ergebnisse in Winkelminuten um! Der Betrag der Winkelminuten entspricht genau dem Preis der Möbelstücke in Euro. Die entsprechenden Lösungsbuchstaben ergeben – in die richtige Reihenfolge gebracht – Pauls Lieblingstier. 1) Kasten 3° 34' + 4° 26' = 480 € U 800 € W 2) Bett 134° 17' + 3° 33' – 133° 40' = 400 € F 250 € P 3) Schreibtisch 90° – (76° 08' + 12° 42') = 66 € O 70 € A 4) Sessel 56° 15'75 = 45 € M 75 € L Lieblingstier: Als Deckenleuchte hat Paul sich eine Lampe ausgesucht, die von einer rautenförmigen Glasplatte abgedeckt wird. Die Seitenlänge beträgt 20 cm und die Länge einer Diagonale 24 cm. Fertige eine Zeichnung der Glasplatte an! Wähle einen geeigneten Maßstab! 23 B O M DI 10 m 31° α 6 m 3 m 10 m 24 B O M DI 25 B O M DI 26 B O M DI Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

Mathematik macht Spaß/Wiederholung 15 Zum Glück blieb neben dem Umzug auch noch Zeit für andere nette Unternehmungen während der neun Wochen Sommerferien. Paul hatte sehr abwechslungsreiche Sommerferien. Er war von den neun Ferienwochen 14 Tage in Italien, eine Woche bei seinen Großeltern, sechs Tage auf Sportcamp und drei Tage bei einem Freund. Die restliche Zeit hat er damit verbracht, seinen Eltern zu helfen. Fülle die Tabelle aus und stelle Pauls Ferienprogramm in einem Kreisdiagramm dar! Orte Anzahl der Tage Relative Häufigkeit Zentriwinkel Italien 14 1463 ≈ 0,22 = 22% Großeltern Sportcamp Freund Zuhause Summe Auch Pauls Schwester war nicht die ganzen Ferien in ihrem Zuhause. Entnimm dem Prozentstreifen, wie viele Tage der neun Wochen sie jeweils an den unterschiedlichen Orten war, und ergänze die Tabelle! Während des Italien-Urlaubs haben Paul und seine Schwester genau aufgeschrieben, wie viel Euro sie jeden Tag ausgegeben haben: (Beträge in Euro): Paul: 3; 0; 2,50; 4; 1,50; 6; 3; 0; 2; 1,50; 10; 7; 3; 3 Pauls Schwester: 2; 1,50; 9; 0; 0; 12; 1,50; 0; 2,50; 2,50; 5; 3; 6,50; 8 1) Ermittle den Median und das arithmetische Mittel von Paul und seiner Schwester! 2) Welchen Mittelwert wird Paul wählen, welchen seine Schwester, wenn sie den Eltern verdeutlichen möchten, dass sie im Vergleich zum anderen sparsamer waren? Orte Tage Großeltern Italien Musikcamp Freundin Kinderuni Zuhause Summe 27 B O M DI 1 % š 3,6° Tipp 28 B O M DI 0 % 20 % 40 % 60 % 80 % 100 % Großeltern Italien Musikcamp Freundin Zuhause Kinderuni 29 B O M DI Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

Mathematik macht Spaß/Wiederholung 16 Während ihrer Zeit bei den Großeltern haben die Geschwister viel unternommen. Am ersten Tag hatten sie am Vormittag die Möglichkeit klettern zu gehen oder eine Bootsfahrt zu machen. Am Nachmittag konnten sie entweder zuhause bleiben, in den Zoo gehen oder ein Eis essen. 1) Fertige ein Baumdiagramm an, das die verschiedenen Möglichkeiten der beiden, den Tag zu verbringen, darstellt! 2) Gib die Anzahl der Möglichkeiten an! 30 % der Zoobesucher sind Kinder, der Rest Erwachsene. Von den Kindern mögen 25 % am liebsten Elefanten, ​1 _ 5 ​die Giraffen, 15 % die Löwen und die anderen haben kein Lieblingstier. Bei den Erwachsenen mag rund die Hälfte am liebsten die Tiger, 30 % die Pandabären. Der Rest hat kein Lieblingstier angegeben. 1) Trage im Baumdiagramm die jeweiligen relativen Anteile ein und ergänze die fehlenden Angaben! 2) Berechne die relativen Anteile der einzelnen Kombinationsmöglichkeiten! Im Ferienheft wurden viele Vorschläge für Unternehmungen gemacht. Es gab Outdoor- und Indoor-Veranstaltungen, die entweder gratis waren, höchstens 10 € gekostet haben oder teurer waren. Ergänze die relativen Häufigkeiten im unten stehenden Baumdiagramm! Indoor ≤ 10 € gratis 0,65 0,26 0,325 0,245 0,07 0,065 > 10 € ≤ 10 € gratis > 10 € Outdoor 30 B O M DI 31 B O M DI 32 B O M DI Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

Mathematik macht Spaß/Wiederholung 17 Kurz vor Schulbeginn findet Paul in den Umzugskisten einen Übungszettel, den er von seiner Mathematik-­ Lehrerin für die Ferien bekommen hat. Folgende Aufgabe ist zu lösen: Von einem Dreieck sind die Punkte A, B (im Koordinatensystem unten vorgezeichnet), der Winkel α = 40° sowie die Seite ​ __ AC ​= 10 cm gegeben. 1) Konstruiere das Dreieck im gegebenen Koordinatensystem! 2) Lies die Koordinaten der Punkte A und B ab! A = ( 1 ), B = ( 1 ) 3) Welche Koordinaten hat der Punkt C? C = ( 1 ) 4) Konstruiere die besonderen Punkte des Dreiecks H, U, I, S und gib ihre Koordinaten an! H = ( 1 ), U = ( 1 ), I = ( 1 ), S = ( 1 ) 5) Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks! Zerlege dazu in rechtwinklige Dreiecke und entnimm die notwendigen Längen deiner Zeichnung! ​A​Dreieck ​= y x 1 2 3 4 6 7 5 8 9 10 11 12 0 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2 A B c 33 B O M DI Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

Ganze Zahlen A 18 Ganze Zahlen Berühmte Mathematiker und deren Zweifel zu den negativen Zahlen Auch viele berühmte Mathematiker hatten deswegen Unbehagen gegenüber den negativen Zahlen, zB De Morgan (1806 –1871). Denn wenn sich zB bei einer Aufgabe ergeben sollte, dass etwas „in –2 Jahren“ der Fall ist, so kann man ja genauso gut sagen, dass es „vor 2 Jahren“ geschehen ist, dann braucht man keine negativen Zahlen. Ein Zeitgenosse und Freund von Blaise Pascal, nämlich Antoine Arnauld (1612 –1694) hatte formale Schwierigkeiten mit negativen Zahlen. Es gilt ja ​–1 __ 1 ​= ​ 1 __ –1 ​, denn in beiden Fällen ist der Quotient −1. Das war für Arnauld aber sehr seltsam, denn –1 ist weniger als 1. Und wie kann eine kleinere Zahl dividiert durch die größere Zahl gleich der großen dividiert durch die kleine sein? Im Bereich der natürlichen Zahlen gibt es so etwas tatsächlich nicht, aber in einigen Bereichen sind die negativen Zahlen eben doch anders als die natürlichen. Die negativen Zahlen hatten es nicht leicht Die negativen Zahlen treten in manchen Kontexten zwar auf, zB beim Geldwesen, aber allen ist heutzutage klar, dass ein Kontostand von −200 € eigentlich bedeutet, dass dieses Konto um 200 € überzogen wurde, dass also die 200 € wegen des negativen Vorzeichens als Schulden zu interpretieren sind. Aber warum hatten es die negativen Zahlen trotzdem so schwer, als „wirkliche Zahlen“ anerkannt zu werden, und zwar nicht nur von der Gesellschaft, sondern auch von vielen Mathematikern? Die Antwort ist einfach: Weil negative Zahlen von der Sache her eigentlich nicht notwendig sind. Man kann die jeweiligen Phänomene ja auch mit Worten beschreiben. Geldverleih gibt es nicht erst seit dem modernen Bankenwesen und der allgemeinen Akzeptanz der negativen Zahlen. Wenn man immer dazusagt, ob man mit 200 € ein Guthaben oder Schulden meint, ist ja auch alles klar. Auch ohne den Begriff der negativen Zahlen ist klar, dass, wenn eine Person einerseits ein Guthaben von 50 € und andererseits Schulden von 200 € hat, sie also insgesamt Schulden von 150 € hat. Genauso kann man bei Höhenangaben mit Worten unterscheiden: über oder unter Meeresniveau. So hat man es ja auch jahrhundertelang (erfolgreich) gemacht. Antoine Arnauld (1612 – 1694) Augustus De Morgan (1806 – 1871) Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

A 19 Negativen Zahlen als vollständige Rechenzahlen Es gab und gibt keinen zwingenden sachlichen Grund für die negativen Zahlen, sondern eigentlich nur einen mathematischen. In der zweiten Klasse haben wir die negativen Zahlen als Stellen auf der Zahlengeraden kennengelernt. Diese ergeben sich, wenn man den Zahlenstrahl auf die andere Seite spiegelt und so zur Zahlengeraden erweitert. –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 Auf dieser Zahlengeraden kann man sich auch „nach rechts und links bewegen“ durch Addieren bzw. Subtrahieren natürlicher Zahlen, das gab es auch schon in der 2.Klasse, da standen nach dem Rechenzeichen niemals negative Zahlen. Auf diesem Niveau sind die negativen Zahlen noch nichts wirklich Besonderes bzw. Abstraktes, sie sind nur Zahlen auf der anderen Seite von 0, die für manche Kontexte sinnvoll erscheinen. Wenn man aber, wie in der Mathematik, mit Zahlen wirklich umfassend rechnen will (echte Rechenzahlen; eigenständige Denkobjekte mit einer zu Ende gedachten eigenen Struktur), so muss man auch klären, was es heißt, eine negative Zahl zu addieren bzw. zu subtrahieren, mit einer negativen Zahl zu multiplizieren bzw. durch eine negative Zahl zu dividieren. Und genau das kommt jetzt in der 3. Klasse. Der Grund dafür liegt aber primär innerhalb der Mathematik, nicht in alltäglichen Kontexten und Anwendungen. Worum geht es in diesem Abschnitt? • Eigenschaften ganzer Zahlen • Gegenzahl und Betrag einer ganzen Zahl • Ganze Zahlen als Veränderung • Addieren und Subtrahieren ganzer Zahlen • Multiplizieren und Dividieren ganzer Zahlen Der römische Kaiser Augustus wurde am 23. September des Jahres 63 vor Christus geboren und starb am 19. August des Jahres 14 nach Christus. Wie alt wurde Augustus? Tipp: In der Zeitrechnung gibt es das Jahr Null nicht. Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

20 Ganze Zahlen A 1 1.1 Einführung der ganzen Zahlen Riesending-Schachthöhle Untersberg, Berchtesgaden 19,2 km Ganglänge mind. 1 150 m max. Tiefe Ursprungscanyon Hochsammler Sammler Biwak 1 Biwak 2 Biwak 3 Biwak 4 Biwak 5 Biwak 6 Lange Gerade Sechs Schächte Auenland ca. 1800 m NN Einstieg –1 100 m –1 000 m –900 m –800 m –700 m –600 m –500 m –400 m –300 m –200 m –100 m 0 m 2014 wurde aus der Riesending-Schachthöhle, die im Untersberg (Deutschland, Nähe Salzburg) liegt, ein Verletzter durch eine aufwendige Rettungsaktion geborgen. Der Unfall ereignete sich bei ca. ‒1 000 m. Der tiefste Punkt der Höhle liegt bei m. Höhenangaben unterhalb eines gewissen Punktes (zB Meeresniveau oder hier Höhleneinstiegshöhe) werden mit negativen Zahlen angegeben. Negative Zahlen treten auch bei Temperaturen unter Null Grad Celsius oder bei Geldgeschäften (Schulden, Ausgaben) auf. Zusammen mit den natürlichen Zahlen bilden sie die Menge der ganzen Zahlen. Schreibe die Mengenbezeichnungen Z+ bzw. Z‒ neben den jeweiligen Alltagsbegriff (➞ Infobox)! Schulden Höhe über NN Guthaben Einnahmen Untergeschoß Ausgaben Temperaturen unter dem Gefrierpunkt Sebastian hat auf seinem Konto 1) 25 € 2) ‒34 €. Gib den Kontostand an, wenn er a) 100 € einzahlt, b) 15 € einzahlt, c) 20 € abhebt, d) 63 € abhebt! Heute hat es ‒3 °C. Gib die Temperatur von gestern an, wenn es a) 2° C wärmer wurde, b) 5° C kälter wurde, c) um 1° C abgekühlt hat! Der Hauptgipfel des Untersbergs ist 1 972 m über NN (➞ Infobox). 1) Wie viele Höhenmeter liegen zwischen Höhleneinstieg und Gipfel? 2) Biwak 1 liegt bei ‒400 m in der Höhle. Wie viele Höhenmeter sind von hier bis zum Gipfel zurückzulegen? Wie viel m über NN ist das? Lukas ist mit seiner Mama im Einkaufszentrum. Dieses Einkaufszentrum hat in den Untergeschoßen Garagen und darüber Verkaufsebenen. Sie parken in der Tiefgarage. Lukas sagt beim Verlassen des Liftes: „Wir sind jetzt mehr Stockwerke gefahren, als das Einkaufszentrum Einkaufsebenen hat!“ Gib zwei Beispiele an, in welcher Etage sie sein könnten und wo das Auto steht! interaktive Vorübung 56xd97 AH S. 12 Positive ganze Zahlen Negative ganze Zahlen Jede positive ganze Zahl ist größer null: Jede negative ganze Zahl ist kleiner null: Z+ = {1, 2, 3, …}. Z‒ = {…, ‒3, ‒2, ‒1}. Die negativen ganzen Zahlen, die Zahl 0 und die positiven ganzen Zahlen bilden gemeinsam die Menge der ganzen Zahlen: ℤ = {… –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, …}. Ganze Zahlen 34 B O M DI Normalnull (NN) Die Höhenangaben von Orten werden immer bezüglich eines gewissen Niveaus gemessen. Dieses wird mit NN bezeichnet und bedeutet Normalnull. In Österreich werden Höhenangaben zum mittleren Pegelstand der Adria angegeben. 35 B O M DI 36 B O M DI 37 B O M DI 38 B O M DI 1 Ganze Zahlen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

21 A 1 Ganze Zahlen 1.2 Eigenschaften ganzer Zahlen Der Schmelzpunkt eines Stoffes gibt die Temperatur an, bei der ein fester Stoff flüssig wird, also schmilzt. Stefanie hat in einem Buch die Schmelzpunkte verschiedener Stoffe entdeckt: Bienenwachs 62 °C, Alkohol ‒114 °C, Eis 0 °C, Butter 25 °C, Quecksilber ‒39 °C. Sie möchte nun die Stoffe aufsteigend nach ihren Schmelzpunkten ordnen. Wie bei den natürlichen Zahlen gilt auch bei ganzen Zahlen: Die auf der Zahlengeraden weiter links liegende Zahl ist kleiner als die rechts davon liegende Zahl. Daher ergibt sich: < < < < Auf der Zahlengeraden liegen also die negativen ganzen Zahlen links von der Zahl Null, die positiven ganzen Zahlen liegen rechts von der Zahl Null. Die Zahl Null ist weder positiv noch negativ – sie gehört aber auch zu den ganzen Zahlen. Alle ganzen Zahlen haben somit einen Vorgänger und einen Nachfolger. Daher beträgt ein Grad mehr als die Schmelztemperatur von Wasser °C und die ein Grad niedrigere Temperatur °C. Das Minus(zeichen) tritt hier als Vorzeichen auf. Bei Subtraktionen wird das gleiche Minuszeichen als Rechenzeichen verwendet (zB Unterschied Schmelzpunkte Bienenwachs und Butter: 62 – 25 = ). Das Minus(zeichen) – hat also zB in der Rechnung 3 – 5 = ‒2 zwei Funktionen: 1. Minus als Rechenzeichen zum Kennzeichnen der Subtraktion (3 – 5) 2. Minus als Vorzeichen zum Kennzeichnen einer negativen Zahl (‒2) Auch die positiven Zahlen haben ein Vorzeichen, das Plus +. Man schreibt zB statt 5 auch + 5 oder statt 11 auch + 11. Wenn jedoch keine Verwechslungen auftreten können, darf man bei positiven Zahlen das Vorzeichen + weglassen. Gib den Vorgänger und den Nachfolger der Zahl a) 17, b) 3, c) 1, d) 0, e) ‒1, f) ‒12 an! Wie lautet der Vorgänger der Zahl a) ‒99, b) 1 000, c) ‒99 999, d) ‒9 910? Wie lautet der Nachfolger der Zahl a) ‒1, b) ‒100, c) ‒10 100, d) ‒101 100? Kreuze an, welche Aussage einen Vorgänger beschreibt! A mit dem Aufzug einen Stock tiefer fahren D vom Gipfel ins Tal absteigen B von einem Konto 100 € abheben E einen Euro ausgeben C die Temperatur um 1 °C erhöhen –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 Ganze Zahlen können auf einer Zahlengeraden veranschaulicht werden. Jede ganze Zahl entspricht dabei genau einem Punkt auf der Zahlengeraden. Je weiter links eine Zahl auf der Zahlengeraden liegt, desto kleiner ist sie. Jede ganze Zahl hat einen Vorgänger und einen Nachfolger. Es gibt weder eine größte noch eine kleinste ganze Zahl. Eigenschaften ganzer Zahlen 39 B O M DI 40 B O M DI 41 B O M DI 42 B O M DI Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

22 Ganze Zahlen A 1 Ergänze die fehlenden ganzen Zahlen! 1) ‒37 , , , , , ‒32 3) ‒7, , , , , , , , , 2 2) ‒102, , , , , ‒97 4) – 1 004, , ‒1 002, , , Welche ganzen Zahlen sind auf der Zahlengeraden markiert? a) –2 –4 –6 0 2 4 8 b) –5 –10 –15 –20 –25 0 5 c) –100 –200 –300 –400 0 d) –100 0 100 –200 Stelle die angegebenen Zahlen auf einer Zahlengeraden dar! a) ‒4, ‒1, 2, 5, 7 c) ‒93, ‒90, ‒82, ‒75, ‒71 e) ‒1 100, ‒900, ‒200, 100, 300 b) ‒13, ‒7, ‒5, ‒2, 2 d) ‒105, ‒101, ‒98, ‒95 f) ‒140, ‒105, ‒95, ‒75, ‒70 Setze das Zeichen < bzw. > ein! a) ‒15 ‒12 d) ‒102 ‒103 g) 21 ‒21 b) ‒99 ‒100 e) 1 002 1 020 h) ‒25 0 c) ‒5 ‒15 f) ‒1 000 010 ‒1 000 001 i) 0 25 1) Welche ganzen Zahlen sind gemeint? Schreibe diese Zahlen auf! 2) Stelle diese auf einer Zahlengeraden dar! a) ‒3 ≤ a ≤ 5 c) ‒2 ≤ c ≤ 0 e) e ≥ ‒4 b) ‒10 ≤ b < ‒7 d) ‒25 < d < ‒12 f) ‒6 < f Schreibe die Zahlenmenge mit Hilfe der Zeichen <, > oder ≤ , ≥ auf! a) a * {‒7, ‒6, ‒5} c) c * {‒101, ‒100, …., ‒13, ‒12} e) e * {…, ‒5, ‒4} b) b * {‒2, ‒1, 0, 1, 2} d) d * {‒2, ‒1, …, 13, 14} f) f * {‒13, ‒12, ‒11, …} In der nebenstehenden Tabelle findest du die Höchst- bzw. Tiefsttemperaturen einiger Himmelskörper. 1) Ordne die Höchsttemperaturen der Himmelskörper! 2) Ordne die Tiefsttemperaturen! 3) Auf welchem Himmelskörper herrscht der größte Temperaturunterschied? Welche Zahl liegt genau in der Mitte der beiden angegebenen? a) ‒7 und ‒5 c) ‒10 und ‒2 e) ‒50 und 0 b) ‒3 und 1 d) ‒10 und 20 f) ‒50 und ‒44 43 B O M DI 44 B O M DI 45 B O M DI 46 B O M DI Beispiel ‒1 ≤ z < 5 1) z * {‒1, 0, 1, 2, 3, 4} 2) –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 47 B O M DI 48 B O M DI Himmelskörper Höchsttemperatur Tiefsttemperatur Erde +58 °C ‒89 °C Mond +130 °C ‒160 °C Merkur +427 °C ‒173 °C Mars +27 °C ‒133 °C 49 B O M DI 50 B O M DI 57u78e Arbeitsblatt Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

23 A 1 Ganze Zahlen 1.3 Gegenzahl und Betrag einer ganzen Zahl Emma betrachtet das Thermometer auf ihrem Balkon genauer. Sie erkennt, dass ‒2 °C und +2 °C genau gleich weit von 0 Grad Celsius entfernt sind. Ebenso trifft das auf ‒5 °C und zu. Emma bemerkt, dass jede positive ganze Zahl eine negative „Partnerin“ hat, wobei an der Zahl gespiegelt wird. Jede positive Zahl und ihre negative „Partnerin“ sind so genannte Gegenzahlen. Hier tritt das Minuszeichen in einer dritten Bedeutung auf: ‒a ist die Gegenzahl von a. Dabei kann die Zahl a selbst auch negativ sein. Emma zeichnet die Zahl + 4 und ihre Gegenzahl ‒4 auf einer Zahlengeraden ein. Beide Zahlen haben vom Nullpunkt den gleichen Abstand, nämlich . Jede Zahl a und und ihre Gegenzahl –a haben vom Nullpunkt den gleichen Abstand. Diesen Abstand nennt man Betrag einer ganzen Zahl. Den Betrag kennzeichnet man durch zwei senkrechte Striche. ZB der Betrag von + 3: 1+ 31 = 3; der Betrag von ‒5: 1‒51 = 5. Der Betrag einer ganzen Zahl, egal ob positiv oder negativ, ist immer eine positive Zahl (Ausnahme 101 = 0). Gib zur angegebenen Zahl 1) die Gegenzahl, 2) den Betrag an! a) ‒5 d) + 11 g) ‒37 j) ‒13 m) + a (a * ​ℤ ​+​) b) ‒3 e) + 19 h) ‒91 k) + 1 059 n) ‒b (b * ​ℤ ​+​) c) + 8 f) + 115 i) 0 l) ‒8 438 o) ‒c (c * ​ℤ ​‒​) Ergänze die fehlenden Zahlen! Bei manchen Angaben gibt es mehrere Lösungen. Begründe! 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) Zahl ‒28 + 12 ‒45 0 Gegenzahl ‒56 + 74 ‒100 ‒77 Betrag 48 30 91 25 Welche andere ganze Zahl hat den gleichen Betrag wie die angegebene? a) +5 b) +10 c) ‒1 d) ‒101 1) Welche ganze Zahl ist gleich groß wie ihre Gegenzahl? 2) Schreibe diesen Zusammenhang als Gleichung auf! Beschreibe, was ein Kontostand von +245 € und ein Kontostand von ‒245 € bedeuten! Wie viel Geld muss man vom Konto abheben, um von +245 € auf ‒245 € zu kommen? –4 –1 0 +1 +4 Zwei ganze Zahlen, die sich nur durch das Vorzeichen unterscheiden, heißen Gegenzahlen. Die Gegenzahl von a ist ‒a, die Gegenzahl von ‒a ist a. Der Abstand einer ganzen Zahl vom Nullpunkt wird als (absoluter) Betrag der Zahl bezeichnet. Eine ganze Zahl und ihre Gegenzahl haben denselben Betrag: 1+a1 = 1‒a1 ≥ 0. Gegenzahl und Betrag einer ganzen Zahl 51 B O M DI Beispiel ‒7 1) ‒ (‒7) = +7 2) 1‒71 = 7 52* B O M DI 53 B O M DI 54 B O M DI 55 * B O M DI * Sprachliche Bildung und Lesen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

24 Ganze Zahlen A 1 Setze die Zeichen <, > oder = so ein, dass die Aussage stimmt! a) 1‒81 1+ 31 c) 1+ 41 1‒61 e) 1+ 91 1‒71 g) 1‒71 101 b) 1+ 51 1‒51 d) 101 1‒41 f) 1‒81 1‒101 h) 1+ 81 1‒81 Wo liegt die Gegenzahl von x? Kennzeichne die Stelle mit einem Farbstift! a) 0 x c) 0 x b) 0 x d) 0 x Kreuze die richtigen Aussagen an! A |a| ist nie eine negative Zahl. B Eine ganze Zahl und ihre Gegenzahl sind immer gleich weit von Null entfernt. C Der Abstand zwischen einer Zahl und ihrer Gegenzahl ist der Betrag dieser Zahl. D Der Betrag von |‒a| ist sicher negativ. E Eine Zahl und ihre Gegenzahl sind immer verschieden. F Der Abstand einer Zahl von ihrer Gegenzahl ist immer das Doppelte des Betrags dieser Zahl. Ordne die Zahlen nach dem Wert ihrer Beträge! Gib dazu für jede Zahl den Betrag an! a) ‒3, ‒7, + 8, ‒1, + 5, ‒10 b) + 4, ‒2, ‒8, + 5, 0, ‒7 c) ‒5, + 4, + 2, ‒7, 0, ‒3 1) Beschreibe die gesuchte Zahlenmenge mit Worten, nutze dafür den Sprachbaustein! 2) Gib alle ganzen Zahlen an, für die die Aussage richtig ist! a) 1a1 = 4 b) 1b1 < 4 c) 1c1 > 7 d) 1d1 = 0 e) 1e1 > 0 f) 1f1 ≤ 0 Schreibe folgende ganze Zahlen mit Beträgen und den Zeichen <, > bzw. ≤ , ≥ an! a) ‒2, ‒1, 0, 1, 2 d) ‒20, ‒19, ‒18, …, 18, 19, 20 g) …, ‒11, ‒10, ‒9, 9, 10, 11, … b) ‒3, ‒2, ‒1, 0, 1, 2, 3 e) …, ‒8, ‒7, ‒6, 6, 7, 8, … h) …, ‒45, ‒44, ‒43, 43, 44, 45, … c) ‒10, ‒9, ‒8, …, 8, 9, 10 f) …, ‒5, ‒4, ‒3, ‒2, 2, 3, 4, 5, … Kreuze die drei richtigen Aussagen an! Gib zu den falschen Aussagen Gegenbeispiele an! A Für den Betrag einer ganzen Zahl z gilt: 1z1 ≥ z B Der Betrag einer ganzen Zahl a ist gleich dem Betrag der Gegenzahl ‒a. C Für alle ganzen Zahlen gilt: 1z1 = z D Die Gegenzahl ‒a kann niemals größer als die Zahl a selbst sein. E Die Gegenzahl ‒a kann niemals größer als der Betrag der Zahl a sein. 56 B O M DI 57 B O M DI 58 B O M DI 59 B O M DI 60* B O M DI Gesucht sind alle ganzen Zahlen, die von Null den Abstand/einen größeren Abstand als/einen kleineren Abstand als haben. Sprachbaustein Beispiel a) 1x1 > 4 b) 1y1 < 3 a) 1) Gesucht sind alle ganzen Zahlen, die von Null einen größeren Abstand als 4 haben. 2) …, ‒7, ‒6, ‒5, 5, 6, 7, …. b) 1) Gesucht sind alle ganzen Zahlen, die von Null weniger Abstand als 3 haben. 2) ‒2, ‒1, 0, 1, 2 61 B O M DI Beispiel 1) ‒4, ‒3, ‒2, ‒1, 0, 1, 2, 3, 4 2) …, ‒9, ‒8, ‒7, 7, 8, 9, … 1) 1x1 < 5 2) 1y1 ≥ 7 62 B O M DI * Sprachliche Bildung und Lesen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

25 A 1 Ganze Zahlen 1.4 Ganze Zahlen als Veränderung Yesim sitzt bei ihrer Hausübung und hört nebenbei den Wetterbericht: „Morgen wird es um 3 °C wärmer als heute.“ Nachdenklich meint sie: „Diese Aussage bringt mir nichts – dadurch weiß ich weder, wie warm es heute ist, noch wie warm es morgen wird!“ Eine Zahl kann nicht nur eine Stelle auf der Zahlengeraden sein, sondern auch eine Veränderung darstellen. Diese Veränderung kann man mit Hilfe von Schritten auf der Zahlengeraden oder einfach als Pfeil kennzeichnen. Eine Zunahme wird durch einen Pfeil nach rechts dargestellt, eine Abnahme durch einen Pfeil nach links. +1 +1 +1 +3 –3 Nach der Hausübung blickt sie aufs Thermometer. Morgen wird es also °C warm werden. Die Zahl 24 kann als Ausgangspunkt bezeichnet werden. Diese Zahl stellt eine Stelle auf der Zahlengeraden dar. * Stelle die Veränderungen mit Hilfe von Pfeilen auf einer geeigneten Zahlengeraden dar! 1) Ausgangstemperatur ‒3 °C 2) Ausgangskontostand 200 € a) um 5 °C wärmer a) Einzahlung von 100 € b) Temperaturrückgang um 3 °C b) Zunahme des Kontostands um 50 € c) Abkühlung um 10 °C c) Behebung von 300 € d) Temperatur nimmt um 7°C zu d) Abnahme des Kontostands um 150 € 1) Setze das korrekte Zeichen + bzw. – in das Kästchen ein! Verfasse anschließend einen passenden Text zur Abbildung! a) +200 500 a) –5 8 b) –3 2 b) +50 350 2) Zeichne auf einer neuen Zahlengeraden den Gegenpfeil ein! Veränderungen können mit Hilfe von Pfeilen dargestellt werden. Bei Zunahme (positive Veränderung) zeigt der Pfeil nach rechts, bei Abnahme (negative Veränderung) zeigt der Pfeil nach links. Zahl und Gegenzahl werden durch gleich lange Pfeile dargestellt, diese zeigen aber in entgegengesetzte Richtungen. Die entsprechenden Pfeile heißen Gegenpfeile. Ganze Zahlen als Veränderung * Sprachliche Bildung und Lesen 63 * B O M DI Beispiel Ausgangspunkt: 1. Untergeschoß; 5 Stockwerke nach oben –2 –1 0 1 2 3 4 5 64 * B O M DI Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

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