54 Bruchzahlen und Bruchrechnen C 1 1.2 Bruch als Division Julia und Thomas bestellen mit ihren Eltern drei Pizzen. Diese teilen sie gerecht auf und wollen daher ermitteln, wie viel 3 Pizzen geteilt durch 4 ist. Aus der Abbildung erkennt man, dass jeder 3 Viertelstücke bekommt. Also ist 3 __ 4 das Gleiche wie 3 : 4. Die Division 3 durch 4 können wir aber als Dezimalzahl schreiben: 34 = . Daher ist der Bruch 3 __ 4 = 0,75. Umrechnen von Brüchen in endliche bzw. periodische Dezimalzahlen Bei der Division 2 _ 5 = 25 = 0,4 tritt 0 Rest auf und somit hat das Ergebnis endlich viele Stellen. Der Bruch 2 _ 5 ergibt eine endliche Dezimalzahl. Bei Brüchen mit den Nennern 10, 100, 1 000,… kannst du das Ergebnis direkt ablesen ohne zu dividieren: 7 __ 10 = 0,7; 18 ___ 100 = . Solche Brüche nennt man Dezimalbrüche. Die folgenden Divisionen führen aber zu keinem Ende. Im Quotienten treten unendlich viele Stellen auf, deren Ziffern sich in einer bestimmten Weise wiederholen. 2 _ 9 = 2,09 = 0,222… 17 __ 99 = 17,099 = 0,1717… 20 710 20 170 2 R 71 R Bei 2 __ 9 ergibt sich immer der gleiche Rest 2. Im Quotienten wiederholt sich daher die Ziffer 2. Wir schreiben: 0,222… = 0, __ 2; somit ist 2 __ 9 = 0, __ 2 . Sprich: „Null Komma zwei periodisch“. Bei 17 __ 99 ergeben sich abwechselnd die Reste 71 und 17. Im Quotienten wiederholen sich die Ziffern 1 und 7. Wir schreiben: 0,1717… = 0, ___ 17; somit ist 17 __ 99 = 0, ___ 17 . Sprich: „Null Komma eins sieben periodisch“. Die sich wiederholende Zifferngruppe heißt Periode. Dezimalzahlen wie 0, __ 2und 0, ___ 17nennt man daher periodische Dezimalzahlen. Die Anzahl der Ziffern, die sich wiederholen, heißt Periodenlänge. Schreibweisen wie 0, • 2bzw. 0, • 1 • 7sind ebenfalls üblich. Dezimalzahlen in Bruchschreibweise darstellen zB 0, 37 = 37 Hundertstel = 37 ___ 100 oder 0, 2 = 2 Zehntel = 2 __ 10 Periodische Dezimalzahlen können ebenfalls als Brüche geschrieben werden. Schreibe die Periode in den Zähler und schreibe in den Nenner so oft die Ziffer 9, wie die Periode Ziffern hat, zB 0, __ 2 = 2 __ 9 ; 0, ___ 17 = 17 __ 99 ! = Ein Bruch zeigt eine Division an (ZählerNenner), der Bruchstrich ersetzt das Divisionszeichen. a _ b = ab (b ≠ 0) Eine Bruchzahl kann entweder als Dezimalzahl oder als Bruch geschrieben werden. Bruch als Division h z Bruchzahlen können in Form von Brüchen oder als Dezimalzahlen geschrieben werden. In der Dezimalschreibweise treten entweder endliche Dezimalzahlen (Dezimalzahlen mit endlich vielen Stellen) oder periodische Dezimalzahlen auf. Jede natürliche Zahl n kann auch als Bruch mit Nenner 1 geschrieben werden: n __ 1 . Bruchzahlen als Brüche oder endliche und periodische Dezimalzahlen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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