32 Teilbarkeit A 3 3.3 Zusammenhang zwischen ggT und kgV Bei den Hausaufgaben meint Alex: „Wenn alle anderen Zahlen außer den Primzahlen zusammengesetzt sind, müssen wir bei den Aufgaben zum ggT ja nur die Primzahlen beachten.“ Julia ergänzt, dass das auch der Teilbarkeitsregel von 6 entspricht. Größter gemeinsamer Teiler mit Primfaktorzerlegung Alex kennt von seiner älteren Schwester einen Weg zum Auffinden der Primfaktoren. 72 2 36 2 18 9 3 3 3 1 1. Dividiere durch die kleinste in der Zahl enthaltene Primzahl (hier: 2)! 2. Schreibe den Quotienten unter die ursprüngliche Zahl (hier: )! 3. Dividiere diesen Quotienten wieder durch die kleinste in ihm enthaltene Primzahl (hier: 2)! 4. Führe das Verfahren so lange fort, bis sich der Quotient 1 ergibt! 72 = ist die Primfaktorzerlegung von 72. 60 2 30 2 15 3 5 5 1 Für die Zahl 60 ergibt sich die Primfaktorzerlegung 60 = . Der größte gemeinsame Teiler zweier (oder mehrerer) Zahlen ist das Produkt aller gemeinsamen Primfaktoren. Kommt ein Primfaktor mehrfach vor, wird er nur so oft genommen wie in jener Zerlegung, in der er am seltensten vorkommt. Daher gilt: ggT (60, 72) = 2·2·3 = . Kleinstes gemeinsames Vielfaches mit Primfaktorzerlegung Mit der Primfaktorzerlegung lässt sich auch rasch das kleinste gemeinsame Vielfache finden. In der Primfaktorzerlegung hakt man bei einer Zahl (zB der kleineren) die gemeinsamen Primfaktoren ab (hier 2·2·3). Das kgV zweier Zahlen ist dann das Produkt aller übrigen Primfaktoren, denn die gemeinsamen dürfen nicht doppelt genommen werden. Daher: kgV ( 60, 72 ) = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 = 72·5 = 360. Ermittle den größten gemeinsamen Teiler und das kleinste gemeinsame Vielfache der gegebenen Zahlen durch Primfaktorzerlegung! a) 60, 70 b) 96, 108 c) 63, 105 d) 210, 252 Kreuze diejenigen Angaben an, bei denen der ggT richtig bestimmt wurde! Stelle die anderen richtig! A a = 2·2·5, b = 2·2·3 w ggT (a, b) = 2·3 C a = 3·3·5·7, b = 3·5·5 w ggT (a, b) = 3·5 B a = 2·2, b = 2·2·2·3 w ggT (a, b) = 2·2 D a = 3·3·5, b = 2·3·5 w ggT (a, b) = 1 Video td9d6b : 2-Mal 3-Mal 60 2 ✓ 30 2 ✓ 15 3 ✓ 5 5 1 72 2 36 2 18 2 9 3 3 3 1 1-Mal = 60 = 72 Für alle Zahlen a, b gilt: a·b = ggT (a, b)·kgV (a, b). Sind a und b teilerfremd, ist der ggT (a, b) = 1 und das kgV (a, b) = a·b. Zusammenhang zwischen ggT und kgV 92 B O M DI 93 B O M DI Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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