31 A 3 Primzahlen 3.2 Primfaktorzerlegung Primzahlen sind besondere natürliche Zahlen. Doch was ist mit den anderen natürlichen Zahlen? Diese (außer 0 und 1) lassen sich in Produkte von Primzahlen, die Primfaktoren, zerlegen. Alle Nicht-Primzahlen (außer die Zahlen 0 und 1) heißen zusammengesetzte Zahlen: zB 4 = 2·2; 6 = 2·3; 10 = 2· ;12 = 2·2· ; 14 = ·7. Die Primfaktorzerlegung jeder Zahl ist, bis auf die Reihenfolge der Faktoren, eindeutig. 1 wird nicht zu den Primzahlen gezählt, sonst könnte man zB neben 72 = 1·2·2·2·3·3 auch 72 = 1·1·1·2·2·2·3·3 usw. schreiben. Die Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung wäre nicht mehr gegeben. Primzahlen können nicht in ein Produkt kleinerer Zahlen zerlegt werden. Größere Zahlen können oft mit dem „Ein mal Eins“ in ihre Primfaktoren zerlegt werden: ZB 72 = 8·9 = 2·4·3·3 = 2·2·2·3·3 oder 72 = 2·36 = 2·6·6 = 2·2·3·2·3 = 2·2·2·3·3 Bemerkung: Da manche Primfaktoren mehrmals vorkommen, kann man die so genannte Potenzschreibweise verwenden. Dabei wird zB 3·3 als 32 geschrieben, da 3 als Faktor 2-mal vorkommt. So ergibt sich für zB 72 = 23·3 2. Primfaktoren und Teiler Die Teiler einer Zahl ergeben sich aus den Primfaktoren, wenn man die Primfaktoren einzeln verwendet und alle möglichen (Teil-)Kombinationen bildet: ZB 72 = 2·2·2·3·3 führt zu den Teilern: 2, 3, 2·2, 2·3, 3·3, 2·2·2, . Zerlege in Primfaktoren! a) 12 c) 50 e) 72 g) 225 i) 420 k) 625 m)1 080 o) 6 048 b) 48 d) 64 f) 96 h) 250 j) 500 l) 720 n) 1 152 p) 6 720 Welche zusammengesetzten Zahlen von 1 bis 100 haben in der Primfaktorzerlegung nur die Primfaktoren a) 2, b) 3, c) 5, d) 2 und 3, e) 2 und 5? Von einer Zahl ist die Primfaktorzerlegung bekannt. Gib mindestens vier echte Teiler dieser Zahl an, ohne den Wert des Produkts zu berechnen! a) 2·2·3·5 b) 2·3·3·5 c) 2·2·5·7 d) 2·2·2·2·3 e) 2·2·3·3·3·3 = 4 = 6 = 9 = 8 Zahlen, die neben den unechten Teilern auch echte Teiler haben, heißen zusammengesetzte Zahlen. Diese können in Produkte von Primzahlen zerlegt werden. Diese eindeutige Zerlegung heißt Primfaktorzerlegung. Die Zahlen 0 und 1 sind weder Primzahlen noch zusammengesetzte Zahlen. Zusammengesetzte Zahlen 89 B O M DI Beginne zuerst durch „kleine“ Primzahlen wie 2, 3, 5 usw. zu dividieren! Tipp B O M DI 90 B O M DI 91 Beispiel 2·2·3 2 ! (2·2·3) 3 ! (2·2·3) (2·2) = 4 ! (2·2·3) (2·3) = 6 ! (2·2·3) ti84uk Arbeitsblatt Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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