27 A 2 Teilbarkeitsregeln 2.2 Summen/Differenz- und Produktregel Summen- und Differenzenregel Sebastian geht zum Handballtraining. Der Trainer teilt die 24 Kinder in Gruppen zu sechst ein. Als sie mit der ersten Übung beginnen möchten, erscheinen Sophia, Hanna, Ali und Jonas. Muss der Trainer jetzt die Gruppeneinteilung neu machen? Sebastian überlegt: Es gibt Gruppen, also 4 ! 24 und wenn zu jeder Gruppe noch jemand der Neuen geht, dann passt es, weil 4 ! 4. Hier besteht folgender Zusammenhang: Wenn 4 ! 24 und 4 ! 4 w 4 ! ( 24 + 4 ). Diese Überlegung gilt auch, wenn vier Kinder das Sporttraining verlassen: 4 ! 24 und 4 ! 4 w 4 ! ( 24 − 4 ). Sebastian beginnt jetzt zu grübeln. Was wäre gewesen, wenn der Trainer Vierergruppen gebildet hätte? Dann gäbe es 6 Gruppen. Das ist möglich, weil ! 24. Widerlegen Um nachzuweisen, dass eine Behauptung nicht allgemein gültig ist, genügt ein Gegenbeispiel. Die vier Neuen hätten nicht auf 6 Gruppen aufgeteilt werden können, weil 6 ~ 4. Es gilt also: 6 ! 24 und 6 ~ 4 w 6 ~ (24 + 4). Die Summenregel gilt, wenn alle Summanden geteilt werden können (ebenso bei der Differenzregel). Produktregel Lena und zwei Freundinnen essen gerne Pizzastücke der Firma „Schmeckt gut“. Eine Packung enthält 6 Stück – somit kann gerecht geteilt werden. Da die drei Mädchen heute einen längeren Fernsehabend machen wollen, besorgt Lena zwei Packungen. Auch diese lassen sich gerecht aufteilen, denn 3 ! 6 w 3 ! 2·6 . Die Produktregel gilt, wenn bereits ein Faktor geteilt wird. Belegen Ein Beispiel reicht als Beleg einer Aussage nicht aus. Man benötigt allgemeine Überlegungen, einen Beweis. Jeder Teiler einer Zahl teilt auch alle Vielfachen dieser Zahl. Dies wissen wir von den Malreihen der Zahlen. Setze jeweils das richtige Zeichen ! oder ~ ein! Verwende die Summen- bzw. die Produktregel! a) 2 20 b) 5 100 c) 10 25 d) 4 16 e) 6 30 2 36 5 23 10 200 4 7 6 24 2 (20 + 36) 5 (100 + 23) 10 (200 + 25) 4 (16·7) 6 (30·24) Video t9zm9i Teilt eine Zahl t zwei Zahlen a und b, dann teilt t auch die Summe/Differenz der beiden Zahlen (a ± b). Teilt eine Zahl t die Zahl a, dann teilt t auch jedes Vielfache dieser Zahl (n·a) mit n = 1, 2, 3, …. aus t ! a und t ! b w t ! (a ± b) aus t ! a w t ! (n·a) Summen/Differenz- und Produktregel 73 B O M DI Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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