256 Vierecke J 5 5.2 Sehnenviereck Remi zeichnet ein beliebiges Viereck und möchte einen Umkreis konstruieren. Allerdings gelingt es ihm nicht. Da fällt ihm ein, dass er in der Schule gelernt hat, welche Vierecke immer einen Umkreis haben, nämlich das , das und das . Es ist jedoch auch möglich, andere Vierecke mit einem Umkreis zu konstruieren. Zeichne dazu einen Kreis, markiere vier beliebige Punkte auf der Kreislinie und verbinde sie. Du erhältst dadurch ein sogenanntes Sehnenviereck, weil alle Viereckseiten Sehnen des Kreises sind. Eigenschaften Zeichnet man die Radien zu den vier Ecken, dann erhält man vier gleichschenklige Dreiecke. Deren Basiswinkel sind dann jeweils gleich groß (ε, μ, φ, ω). Man sieht, dass die Summe gegenüberliegender Winkel (α + γ bzw. β + δ) jeweils ε + μ + φ + ω beträgt, also ist die Summe gegenüberliegender Winkel des Vierecks gleich: α + γ = β + δ. Dies gilt auch dann, wenn der Kreismittelpunkt M außerhalb des Vierecks liegt. Weil die Winkelsumme in jedem Viereck 360° beträgt, wissen wir: Bei Sehnenvierecken ist die Summe zweier gegenüberliegender Winkel gleich groß, nämlich 180°: α + γ = 180° = β + δ. Es gilt sogar: Nur Sehnenvierecke haben diese Eigenschaft, d.h. wenn man von einem Viereck weiß, dass die Summe gegenüberliegender Winkel 180° beträgt, dann muss es ein Sehnenviereck sein. Von einem Viereck kennt man α = 50°, β = 30°, γ = 130°. 1) Wie groß muss der Winkel δ sein, damit es ein Sehnenviereck ist? 2) Konstruiere schließlich so ein Viereck mit seinem Umkreis! Der Umkreismittelpunkt ist, wie beim Dreieck, der Schnittpunkt der der vier Seiten. Kann ein Viereck mit α = 40°, β = 50°, γ = 45° ein Sehnenviereck sein? Wenn nein, warum nicht? Von einem Viereck kennt man α = 50°. Gib mögliche Werte von β, γ, δ an, damit es ein Sehnenviereck ist. Überprüfe jeweils mit einer Konstruktion! A B C D α β δ γ ε ε ω ω μ μ φ φ M Im Sehnenviereck ist die Summe zweier gegenüberliegender Winkel immer 180°. Eigenschaften des Sehnenvierecks 961 B O M DI 962 B O M DI 963 B O M DI Ein Viereck mit einem Umkreis heißt Sehnenviereck. Sehnenviereck Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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