239 J 1 Rechteck und Quadrat 1.2 Flächeninhalt von Rechteck und Quadrat Yasemin durchquert jeden Morgen den quadratischen Schulhof. Sie zählt dabei ihre Schritte und bemerkt, dass die Diagonale des Schulhofs rund 16 m lang ist. Sie fragt sich, wie groß nun die Fläche des Schulhofs ist. Wenn Yasemin die Seitenlänge kennt, dann kann sie den Flächeninhalt mit der Formel A = berechnen. Ohne die Seitenlänge a muss sie sich eine andere Möglichkeit überlegen. Sie beginnt mit einer Skizze (➞ Abbildung rechts). Die Diagonalen des Quadrats sind gleich lang und stehen aufeinander. Yasemine umschreibt das Quadrat mit der Seitenlänge a mit einem größeren Quadrat mit der Seitenlänge d wie in der Abbildung. Der Flächeninhalt des umschriebenen Quadrats ist somit d·d = d2. Die Diagonalen des ursprünglichen Quadrats teilen das umschriebene in vier kleine Quadrate. Man sieht, dass von jedem dieser kleinen Quadrate jeweils die Hälfte zum ursprünglichen Quadrat gehört. Daher muss der Flächeninhalt des ursprünglichen Quadrats genau die Hälfte des umschriebenen sein: A = d·d ___ 2 = d 2 __ 2 . Da die Diagonalen beim Rechteck im Allgemeinen nicht normal aufeinander stehen, kann der Flächeninhalt nicht mit Hilfe der Diagonalen berechnet werden, sondern nur mit der Formel A = a·b. Von einem Quadrat kennt man die Länge der Diagonale. Berechne den Flächeninhalt! a) d = 7,0 cm b) d = 1,2 m c) d = 2,3 m d) d = 4,1 m e) d = 23,5 m Zeichne das Quadrat ABCD und berechne seinen Flächeninhalt! a) Diagonalenlänge d = 44 mm c) Umkreisradius r = 40 mm b) Diagonalenlänge d = 76 mm d) Umkreisradius r = 55 mm Anleitung: Die Diagonalen teilen das Quadrat ABCD in vier kongruente gleichschenklig-rechtwinklige Dreiecke (➞ Figur rechts). 6 cm 2 cm A2 A1 Das links abgebildete Rechteck setzt sich aus lauter Quadraten zusammen. Wie groß ist der Flächeninhalt 1) des Quadrats A1, 2) des Quadrats A2, 3) des gesamten Rechtecks? Zeichne drei beliebige Rechtecke ABCD mit a ≠ b und zeige damit, dass im Rechteck A = d·d __ 2 nicht gilt! Zeichne das Quadrat und berechne den Flächeninhalt auf zwei verschiedene Arten! Vergleiche die beiden Ergebnisse! Begründe, warum sie wahrscheinlich nicht gleich sind! Miss dazu die fehlenden Längen ab! a) a = 7 cm b) a = 5,2 cm c) d = 5 cm d) d = 6,4 cm A B C D a a d d a a d 896 B O M DI B O M DI 897 A B C D M d 2 d 2 B O M DI 898 899 B O M DI 900 B O M DI Rechteck: A = a·b Quadrat: A = a·a = a2 oder A = d·d ___ 2 = d2 __ 2 Flächeninhalt von Rechteck und Quadrat Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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