234 Dreiecke I P Q A B Um die Entfernung zweier Punkte P und Q am anderen Ufer eines Flusses zu ermitteln, wurde eine Standlinie AB angelegt. In deren Endpunkten wurden die Winkel zwischen den Sehstrahlen zu P und Q und der Standlinie festgestellt. Zeichne im Maßstab 15 000! Wie lang ist die Strecke PQ in Wirklichkeit (➞ Infobox)? a) __ AB = 450 m, ¼ BAP = 67°, ¼ BAQ = 46°, ¼ PBA = 51°, ¼ QBA = 84° b) __ AB = 550 m, ¼ BAP = 78°, ¼ BAQ = 54°, ¼ PBA = 45°, ¼ QBA = 88° Ein Grundstück hat die Form eines rechtwinkligen Dreiecks mit der Hypotenusenlänge 25 m und mit einer 20 m langen Kathete. 1) Zeichne das Dreieck im Maßstab 1500! 2) Miss die Länge der zweiten Kathete in deiner Zeichnung! Wie lang ist sie in Wirklichkeit? 3) Wie groß ist der Flächeninhalt des Grundstücks in Wirklichkeit? 4) Konstruiere jenen Punkt, der von den drei Seiten gleich weit entfernt ist! 5) Miss diese Entfernung in deiner Zeichnung! Wie lang ist sie in Wirklichkeit? 884* B O M DI Vermessungsaufgaben Landvermessung ist wichtig, wenn es zB um Grundgrenzen oder Straßen- bzw. Tunnelbau geht. Oft sind Punkte im Gelände dabei nicht direkt erreichbar. In solchen Fällen kann deren Abstand mit geometrischen Berechnungen ermittelt werden. * Bildungs-, Berufs- und Lebensorientierung 885 B O M DI In jedem Dreieck ist die Summe der Winkel 180°. Die Konstruktion eines Dreiecks ist eindeutig möglich, wenn folgende Bestimmungsstücke gegeben sind (die entsprechenden Kongruenzsätze sind in Klammern angegeben): 1. die drei Seitenlängen (SSS-Satz), 2. eine Seitenlänge und die Größen zweier Winkel (WSW-Satz), 3. zwei Seitenlängen und die Größe des eingeschlossenen Winkels (SWS-Satz), 4. zwei Seitenlängen und die Größe jenes Winkels, der der längeren Seite gegenüberliegt (SsW-Satz). Der Flächeninhalt jedes Dreiecks lässt sich mit der Formel A = a·h a ___ 2 = b·h b ___ 2 = c·h c ___ 2 berechnen. Jedes gleichschenklige Dreieck hat eine Symmetrieachse. Jedes gleichseitige Dreieck hat drei Symmetrieachsen. Im rechtwinkligen Dreieck heißen die beiden Seiten, die den rechten Winkel einschließen, Katheten. Die Seite, die dem rechten Winkel gegenüberliegt, heißt Hypotenuse. Die beiden Winkel an der Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks ergänzen einander auf 90° (Komplementärwinkel). Der Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks lässt sich mittels A = a·b ___ 2 berechnen. Dabei sind a und b die Kathetenlängen des Dreiecks. In jedem Dreieck schneiden einander 1. die drei Streckensymmetralen im Umkreismittelpunkt U, 2. die drei Winkelsymmetralen im Inkreismittelpunkt I, 3. die drei Schwerlinien im Schwerpunkt S, 4. die drei Höhen (bzw. ihre Verlängerungen) im Höhenschnittpunkt H. H, U und S liegen auf der eulerschen Geraden. Satz von Thales: Alle einem Kreis eingeschriebenen Dreiecke, bei denen eine Seite mit dem Durchmesser AB übereinstimmt, sind rechtwinklig. Umgekehrt liegt jeder Punkt P, für den der Winkel ¼ APB = 90° ist, auf der Kreislinie. AH S. 77 Zusammenfassung Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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