230 Dreiecke I 8 8 Satz von Thales Wenn du dein Geodreieck wie in der ersten Abbildung an die Punkte A und B legst und die Spitze mit einem Punkt P markierst, entsteht mit ABP ein rechtwinkliges Dreieck. Wiederhole diesen Vorgang wie in der zweiten Abbildung gezeigt! Es entsteht die dritte Abbildung. Verbinde zunächst die Punkte F (oberer Halbkreis) und G (unterer Halbkreis) jeweils mit A und B und ergänze dann fünf weitere Punkte auf dieselbe Art mit dem Geodreieck! Verbinde anschließend die Punkte zu einem Kreis! Dieser Versuch lässt vermuten, dass alle so entstehenden Punkte auf einem Kreis mit Durchmesser AB liegen. Ein möglicher Beweis sieht so aus: Wenn das Dreieck bei C einen rechten Winkel hat, dann liegt C auf einem Kreis mit Durchmesser AB. Alle Punkte auf der Kreislinie bilden mit A und B rechte Winkel. A M B C α α β β A B M C α α β β Weil α + β = 90° ist, bleibt vom rechten Winkel bei C genau β übrig, wenn du α dort einzeichnest. Dadurch entstehen zwei Dreiecke mit jeweils gleichen Basiswinkeln, die daher auch gleichschenklig sein müssen: Dreiecke mit „Spitze“ M und ___ MA = ___ MC = ___ MB w M ist Mittelpunkt, C * Kreis. Wenn du das Dreieck ABC durch die Strecke MC in zwei Dreiecke teilst (M ist dabei der Mittelpunkt von AB), sind beide gleichschenklige Dreiecke, weil MC auch Radius des Kreises ist und damit gleich lang wie MA und MB! Gleichschenklige Dreiecke haben gleiche Basiswinkel, daher gilt: γ = α + β. Wegen der Winkelsumme im Dreieck folgt: 180° = α + β + γ = α + β + (α + β) = 2·(α + β) = 2·γ w γ = 90°. Dieser Sachverhalt war schon in der Antike bekannt und wird Satz von Thales genannt. Interaktive Vorübung mh78da AH S. 76 A P B A M D E F B G H A P B Konstruiert man einen beliebigen Kreis mit dem Durchmesser AB, dann gilt: 1. Für jeden Punkt P auf der Kreislinie (ausgenommen A und B) ist der Winkel ¼APB = 90°. 2. Wenn für einen Punkt P der Winkel ¼ APB = 90° ist, dann liegt P auf der Kreislinie. Satz von Thales Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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