229 I 7 Besondere Punkte des Dreiecks Konstruiere das Dreieck ABC! Zeichne die angegebene Höhe ein und miss sie ab! a) a = 85 mm, b = 70 mm, c = 95 mm; ha c) c = 97 mm, α = 40°, β = 63°; hb b) a = 68 mm, b = 122 mm, c = 74 mm; ha d) b = 76 mm, c = 61 mm, α = 110°; hb Konstruiere das Dreieck ABC! Zeichne die Höhen ha, hb und hc und den Höhenschnittpunkt H ein! Miss die drei Höhen! a) a = 95 mm, b = 80 mm, c = 85 mm c) c = 75 mm, α = 70°, β = 35° b) a = 138 mm, b = 72 mm, c = 94 mm d) a = 60 mm, c = 56 mm, β = 130° Zeichne das dreieckige Grundstück ABC im gegebenen Maßstab! Wie weit sind die Eckpunkte von der jeweils gegenüberliegenden Grenzlinie des Grundstücks in Wirklichkeit entfernt? a) a = 120 m, b = 90 m, c = 130 m; Maßstab 11 000 b) c = 206 m, α = 72°, β = 44°; Maßstab 12 000 Zeichne das durch die Koordinaten der Eckpunkte gegebene Dreieck ABC! Zeichne die Höhen ha, hb und hc ein und gib die Koordinaten des Höhenschnittpunktes H an! a) A = (1 1 1), B = (7 1 2), C = (5 1 8) c) A = (2 1 1), B = (7 1 4), C = (4 1 4) e) A = (‒3 1 2), B = (7 1 ‒2), C = (3 1 4) b) A = (1 1 1), B = (9 1 0), C = (5 1 4) d) A = (‒1 1 1), B = (6 1 2), C = (6 1 7) f) A = (‒5 1 ‒1), B = (7 1 4), C = (1 1 8) Von einem Dreieck ABC kennt man zwei Seitenlängen und die Höhe hc. 1) Konstruiere das Dreieck! Es gibt zwei Lösungen. Begründe! 2) Gib für beide Lösungen den Umfang und die Längen der beiden anderen Höhen an! a) a = 8 cm, c = 12 cm, hc = 6 cm b) b = 56 mm, c = 102 mm, hc = 50 mm Warum treffen einander die drei Höhen eines Dreiecks ABC in einem Punkt? Dieser Beweis soll das klären: 1) Zeichne ein beliebiges Dreieck ABC! 2) Konstruiere das „parallele Umdreieck“ des Dreiecks ABC! Beschreibe mit eigenen Worten anhand der drei Skizzen, wie das Umdreieck entsteht! A B c C a b A B c C a b A B c C D E F a b 3) Anhand der auftretenden Parallelogramme ABDC, ABCE, AFBC sieht man, dass die „neuen“ parallelen Seiten jeweils so lang wie die „alten“ sind. 4) A D E F B c C a b Konstruiere dann den Umkreismittelpunkt des „neuen“ Dreiecks DEF (des „parallelen Umdreiecks“ von ABC). Die dafür benötigten Streckensymmetralen treffen einander in einem Punkt, was wir schon auf Seite 223 gezeigt haben. Die Streckensymmetralen sind aber gleichzeitig die Höhengeraden des „alten“ Dreiecks ABC! Also treffen einander die Höhen genauso in einem Punkt, dem Höhenschnittpunkt. B O M DI 863 864 B O M DI 865 B O M DI 866 B O M DI B O M DI 867 Anleitung: Beginne mit der Seite c und zeichne dann eine Parallele zu dieser Seite im Abstand hc! Tipp B O M DI 868 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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